对角化矩阵的应用本科

目 录

引 言 .............................................................................................................................. 1 1矩阵对角化 ....................................................................................................................... 1 1.1矩阵对角化的几个条件 ........................................................................................ 1 1.2对角化矩阵的性质 ................................................................................................ 3 1.3 矩阵对角化的方法 ............................................................................................... 5 2对角化矩阵的应用 ........................................................................................................... 5 2.1求方阵的高次幂 .................................................................................................... 5 2.2反求矩阵 ................................................................................................................ 6 2.3判断矩阵是否相似 ................................................................................................ 7 2.4求特殊矩阵的特征值 ............................................................................................ 7 2.5在向量空间中应用 ................................................................................................ 7 2.6在线性变换中应用 ................................................................................................ 7 2.7求数列通项公式与极限 ........................................................................................ 8 2.8求行列式的值 ...................................................................................................... 11 2.9对角化矩阵在其他方面的应用 .......................................................................... 12 参考文献 ............................................................................................................................ 14 致 谢 ............................................................................................................................ 15

引 言

现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.

1矩阵对角化

我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的. 1.1矩阵对角化的几个条件

引理1[1] 设A,B?Pn?n,且

A2?A,B2?B,AB?BA,

则存在可逆矩阵P,使A,B可同时对角化.

引理2[2] 如果P?diag(?1,?2,?,?n)?Pn?n的n个对角元互不相同,矩阵B?Pn?n,那么PB?BP当且仅当B本身就是对角阵.

?E因为任何一个幂等矩阵A(A2?A)一定相似于一个对角矩阵?r?0n0??,所以任何0?一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即A???iAi,其中?i是矩阵A的特征值,

i?1矩阵Ai为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢？有如下结论：

定理1[3] 若

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A?k1?1?k2?2???kn?n,

k1,k2,?,kn是n个数,?1，?2，?，?n是n个幂矩阵,并且他们两两可替换,

?i?j??j?i,(i?j),

则矩阵A可对角化.

证明 若?1，?2，?，?n是n个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵P1,使得

?1，?2，?，?n,

可同时对角化.

?1?，Dn是对角矩阵), ?1?P，?，?n?Pn?1DnPn(D1，1D1P1A?k1?1?k2?2???kn?n?P?1(k1D1)P?P?1(k2D2)P???P?1(knDn)P?P?1(k1D1?k2D2???knDn)P,由D1，?，Dn是对角矩阵知

k1D1?k2D2???knDn

同样是对角矩阵,即矩阵A为对角化的矩阵.

定理2[4] 如果A?Pn?n,?1，?2是它两个不相同的特征值,那么矩阵A可对角化

?一定有幂等矩阵?,满足

A??1E?(?2??1)?.

证明 必要性：如果A是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵P,满足

??1E1?PAP?1?????E22??

?11是一个对角阵.

??0???1?0??1?0??1?1????A?PAP?P??1E??P?P?EP?P???P??E?P???1121?1121?????P, ?????EE21??2?2??????1并且?相似于

?0??1?0??1?0??12P?P?PPPP??, ??E??E?E2?2?2????第 2 页 共 16页

若?为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵?满足

A??1E?(?2??1)?.

充分性：若存在?使得

A??1E?(?2??1)?,

?0?因为?是幂矩阵,所以一定会有一个T,满足??T?1?T, ??E2??E?0??0???1?1?11A??1E???2??1?T?T?T(?E?)T?T???????E???T, E?E2?2122??????1因此，

??E?T?1AT?T?1?11T, ??2E2??即矩阵A为可对角化的.

定理3[5] 设矩阵A?Pn?n存在n个不同的特征值,则对于矩阵B?Pn?n,

AB?BA,

当且仅当矩阵A,B同时可以对角化.

证明 必要性 若矩阵A存在n个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵

A为对角化的矩阵.设

T?P?1AP,

其中T?diag(?1,?2,?,?n),则

T(P?1BP)?P?1APP?1BP?P?1ABP?P?1BPP?1AP?(P?1BP)T,

即T与P?1BP是可以进行交换的,因此得知P?1BP是对角矩阵,且矩阵B也是为对角化的矩阵.

充分性 如果矩阵A,B可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵P,使得

A?P?1D1P,B?P?1D2P(其中为D1，D2对阵),

AB?P?1D1PP?1D2P?P?1D1D2P?P?1D2D1P?P?1D2PP?1D1P?BA,

因此我们可以通过上述的一系列条件，来求出A的特征值，且这是两个相互不同的数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件：如果?2??这个条件成立，那么就认为矩阵A可对角化,否则就认为矩阵A不能可对角化,其中??(A??E)/(?1??2). 1.2对角化矩阵的性质

定理4[6] 设A为数域P上的一个n阶的矩阵,且它为可对角化的，?1,?2,?,?t是

A的相互不同的特征根,则一定会有n阶的A1,A2,?,At满足 (1)A??1A1??2A2????tAt；

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