(优辅资源)广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试卷

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??2?(?25)?200 ?250 ………………………………

12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意，A(?a,0),B(0,b),C(0,?b)，

又F1(?1,0)，所以c?1，直线BF1：y?bx?b． …………………2分

M为AC的中点，所以M(?,?)，

a2b2 代入直线BF1：y?bx?b，则a?3， …………………4分

2222 由a?b?c?b?1，所以b?8,a?9，

22x2y2??1． …………………6 所以椭圆E的标准方程是98分

x2?y2?1，………8 （Ⅱ）因为直线BF1的斜率为1，则b?c?1,a?2，所以椭圆M:2分

又直线BF1：y?x?1，

?x24??y2?1由?2 解得x?0（舍），或x??，

3?y?x?1?41所以D(?,?)． ………………………………10分

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因为F1(?1,0),F2(1,0),B(0,1)， 所S?以三角形

BDF2的面积为

1114F1F2?yB?yD??2?1?(?)?． ………………………12分 223321．（本小题满分12分）

解：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则 ………………1分

?x?y?300,?0.06x?0.02y?9,?………① …………4分 ??x?0,??y?0,目标函数为z?0.3x?0.2y， ……………5分

?x?y?300,?3x?y?450,?不等式组①等价于? x?0,???y?0,可行域如图所示，……………………………7分 目标函数z?0.3x?0.2y可化为y??3x?5z 2由此可知当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数z取最大值．………………………9分

解方程组??x?y?300,?x?75, 得? ?3x?y?450,?y?225,M的坐标为(75,225)．…………………………………………………………………………10分

所以zmax?0.3?75?0.2?225?67.5．………………………………………………………11分

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答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元．

………………………………………………………………………………12分

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：取PA的中点M，连结DM,BM. ……1分 由AD?PD，得DM?PA，

由PB?AB，得BM?PA， ……………………………2分 且DM?BM?M. ?PA?平面BDM.…………………………………………………………………………3分 BD?平面BDM，

?BD?PA. …………………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）在平面PDC中，过点P作PO?DC于点O， 连结AO，交BD于H. …………………………………………………………………………………………………5分 ∵平面PDC?平面ABCD，平面PDC?平面ABCD?DC，

∴PO?平面ABCD. ?PO?BD. …………………………………………………………………………………6分

由（1）及PA?PO?P，

?BD?平面PAO，

?BD?AO，…………………………………………………………………………………7分

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在Rt?BAD中，tan?ADB?AB6??3，即?ADB?60?. AD23AH?PH?AD?sin60??3，DH?ADcos60??3. 在Rt?DHO中，HO?DH?tan30??1，DO?2. ?PO?32?12?22.………………………………8分

以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x ，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(23,0,0)，P(0,2,22)，B(23,6,0).C(0,6,0). CP?(0,?4,22)，BP?(?23,?4,22).…………………………………………9分

设平面PBC的法向量是n?(x,y,z)，则

n?CP?0，n?BP?0，

即

???4y?22z?0????23x?4y?22z?0，得其中一个法向量为

n?(0,1,2). …………………………10分

设直线AP与平面PBC所成角为?，又PA?(23,?2,?22)，则sin??|cos?n,PA?|?|(0,1,2)?(23,?2,?22)|12?(2)2?(23)2?(?2)2?(?22)2平

面

?2. 2直线

AP与

PBC所成角的正弦值为

2.……………………………………………………12分 2注意：以上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分．

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