相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析

相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析

1．相似三角形的概念：

在

和

的位置上). 思考：在 猜想： ∴ 过点 在

作

和中，如果

相似，记作

∽

，，

，，，我们就说

就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应

中,点与

，

，

中，

是边的中点,

与

，交中，

于点，

与有什么关系？

相似. 证明：在

. 交，

于点

又 ∴

，∴，

.

∴，

∴ 改变点

∽在

(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.

.

2．相似三角形的判定

定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似. (

思考：对比三角形全等判定的简单方法

)，看是否也有简便的方法？

已知：在求证：

和∽

.

中，.

，过点

作

，交

于点

，

证明：在线段(或它的延长线)上截取

根据前面的结论可得∽.

∴ 又 ，

∴ 同理： ∴ ∴

≌∽

∴

相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.

思考：若，，与是否相似呢？

相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

进一步引申：若，，与是否相似呢？ 不一定

问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等. 例1.根据下列条件，判断 (1) (2)

，，

，，

与

是否相似，并说明理由： ； ；

，，

，，

. .

解：(1) 又

， ∴

∽

∴

问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)

(2)，，

∴

与

的三组对应边的比不等，它们不相似.

问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)

例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？

注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：

，3；或，；或，.

注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.

相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.

3．三角形相似的判定的应用

例3.如图，弦 证明：连接 在

和弦，

相交于.

内一点

，求证：

.

∴∽ ∴

中，∽；，求 ，求

；

；. . 于点

.

.

例4.已知：如图，在 (1)求证： (2)求证： (3)若 (4)若

∽

(此结论称之为射影定理)

分析：(1)利用两角相等证相似；

(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可； (3)利用射影定理和勾股定理直接求； (4)利用上面的定理和方程求. 进一步引申：在

于点

例.已知：

∽

，

分别是两个三角形的角平分线.

中，

于点

，这个条件可以放在圆当中，

是直径，

是圆上任意一点，

，则可得到双垂直图形.

求证：.

4．相似三角形的性质

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.

(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.

证明：如果 因此

∽

，

，相似比为，那么

，

.

.

从而，

同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.

如图，已知：

的高和

并且

∽

，

和

∽

都是直角三角形，

，相似比为

.分别作出

.

与

相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.

例5.如图，在的周长和面积. 解：在

和

中，

，

和

中，

，

，

，

的周长是24，面积是48，求

又 ∽，相似比为.

的周长为

，的面积是 .

例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点. (1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；