浅谈数学直觉的作用

现在数学教育界越来越多的人正逐步认识到数学直觉在数学学习中的作用。数学直觉在数学学习中起到了什么作用?这是现在越来越多的人所讨论的问题。数学直觉作为数学学科的发端，数学学习的奠基石，它是数学学习有所发现、有所创造、有所发展的基础和前提。在数学学习中起着重要的作用。

一、 演绎思维的局限性

纯粹的演绎思维，按照心理学的分类，它属于收敛性思维，它对于思维的条理化、系统化是必需的，他使青少年思维更健康。但是他不能使青少年思维更活泼。纯粹的演绎具有单向的特点，其思维指向及大体线索都已清楚，其逻辑起点与依据也已清楚,因此很难由演绎获得开拓性成果，很难由收敛性思维取得开创性发现。所以，如果只重视演绎训练会带来不良的后果，甚至是错误。例如在复习空间与图形时，我出了这样一个训练学生空间想象力的是思考题，有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面？这是一道数学竞赛的赛题，对于这道题还有这样一个故事：当年的原答案是7个面．佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则答是5个面，被评卷委员会否定了．丹尼尔自己做了一个模型，验证自己的结论是正确的，随后又给出了证明，然后向考试委员会申诉．数学家们看了他的模型，不得不承认他是正确的。 如图所示

当我的学生在做这道题是绝大部分的学生也都答出的是7个面。所以，过多的逻辑思维会给我们的学生带上了沉重的枷锁,使每一个学生只在画好的轨道上前进，从不想试着去开创其它的新路线。特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。什么可以帮我们摆脱逻辑思维、演绎思维带给我们的束缚？现在越来越多的教育界人士开始认识到数学直觉的巨大作用。

直觉是指对事物直接的觉察、领悟甚至是印象.数学直觉则是指对数学对象或问题的直接领悟或觉察。直觉思维就是不受固定的逻辑规则约束、直接领悟事物本质的一种思维方式。例如当我们在未找到正确答案之前常常是直觉帮助我们对结论或解题方向给与预见，当推理面临多种可能性时，又是直觉帮助我们做出果断地选择。

二、数学家与数学直觉

数学直觉像是数学思维的“感觉”，“人们通过感官的感觉，只能认识事物的现象，可是用直觉就能够认识事物的本质和规律性”．数学思维越发达，其“感觉”必定越丰富，也越奇趣．因

此，数学家在其惊天动地的数学研究中的直觉、顿悟和灵感是扣人心弦、动人心魄的．下面的一些故事，它们不仅有助于我们理解数学直觉的存在，而且有助于我们了解数学直觉的巨大作用。大数学家高斯的论文总是用演绎法表达得非常简洁，以至于人们很难设想他当初是如何想出来的．阿贝尔赞美高斯的数学论文说：“他像一只狡猾的狐狸，掩盖了他来时留在沙地上的痕迹．”但在高斯的日记或私人通信中还是留下了直觉的痕迹． 1805年9月3日，高斯在写给阿贝尔的信中，曾谈到他多年研究的“高斯和的符号”问题终获解决时的情形：“最后，只是几天以前，成功了(我想说不是由于我苦苦的探索，而只是由于上帝的恩惠)．就像是闪电轰击的一刹那，这个谜解开了；我以前的知识、我最后一次尝试的方法以及成功的原因，这三者究竟是如何联系起来的，我自己也未能理出头绪来．”

三、直觉可以帮助我们发现和创造

现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。伊恩．斯图加特说：\直觉是真正的数学家赖以生存的东西\，许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法,这些都是数学直觉思维的发生作用的成功典范。张奠宙教授在曾在《数学教育学》中对数学直觉先作出数学预见有过精彩的描述：“数学主要是对事物的一种认识、一种理解，数学思想和数学观念，以及与之相联系的数学方法，乃是数学思维的主导方面．任何一种新的数学理论，只靠严谨的逻辑演绎是‘推’不出来的，必须加上生动的思维创造．一旦有了新的想法，采取了新的策略，掌握了新的技巧，数学思维就前进一步．人们的直觉和顿悟，往往已经得出了整个理论的70％，剩下的30％则是逻辑验证．数学史上冠以某数学家名字的猜想、定理、法则，往往并无逻辑证明，逻辑推演是后人补做的．但是人们仍把功劳归于首创者，道理也在这里” ．爱因斯坦直截了当的说：“我信任直觉”。“我相信直觉和灵感”。他甚至说：“真正可贵的因素是直觉”。数学家笛卡尔持有与爱因斯坦类似的观点，他认为通过直觉能发线作为推理起点的无可怀疑的清晰明白的概念。即直觉是发现公理的过程??。很多很多的数学家都把数学直觉放在非常重要的地位上，认为它是创造的源泉。可见它在数学创造方面的作用是巨大的。 作为教师我们经常在教学目标中写道：培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。发现问题靠什么？发现问题主要的是靠直观地观察、靠不完全归纳、靠类比等一类活动。如果只重视演绎和逻辑推理，则很难增强学生发现问题的能力。直观能力、观察能力、洞察能力也是重要的创造能力之一。有一位英国的科学哲学家认为创造的图示是：P1 →TT→EE→P2 ，即科学创造是从问题P1开始的，然后建立试探性理论TT，再消除试探中可能的错误EE，接着又转入新的问题P2 。只有在学习中不断地发现新的问题，才有可能给创造一个新的起点。在我们小学阶段的每一个大部分是依靠学生的直觉来发现问题，在不断地问题发现中不断地学习新的知识。

四、直觉的形象思维可以帮我们更好的理解抽象的数学知识

一提到数学大多数在学校学习过数学的人的都会马上想到在小学阶段复杂的分数应用题、大篇的公式及公式的变形??，这些对于刚刚进行数学学习的小学生来说无疑是个沉重的负担。数学真的就是这样复杂、深奥和难以让普通人理解吗？其实如果我们把一些知识利用我

们的形象思维去理解、去记忆。你会发现学习数学原来也是如此简单，遨游在其中是其乐无穷的. 很多很多的深奥知识都有它的几何含义，如果我们能很好的借助直观图形、直观的事件来学习理解数学知识，相信你会觉得它原来也如此简单。例如：我们在学习圆柱圆锥体积之间的倍数关系时有不少同学在学习了很多遍之后还是不能理解，我就让学生在理解这些倍数关系是利用画图的方法来理解。当提到等底等高的圆柱和圆锥时，在草稿部分先画出等底等高的圆柱和圆锥，当看到图形时这堆圆柱圆锥体积的之间倍数关系，高之间的倍数关系，底面积之间的倍数关系不用任何记忆就一目了然了。当提到等体积等底的援助圆锥时，就在纸上画等底等体积的圆柱圆锥，等底好画，但如果高度画的一样体积就不可能一样，只有把圆锥的高华的比圆柱得更高一些才有可能让体积相等。图画出来了他们高之间的倍数关系圆锥的高是圆柱高的三倍就一目了然了，没有任何难度。通过画图就使很复杂的绕来绕缺的倍数关系变得跟简单。学生通过直观形象的理解把复杂的知识变简单了。这就是直觉的形象思维带给我们的直接的作用。

五、利用直觉的特性来增强我们的数学直觉

直觉具有的逻辑性、偶然性、自发性、易逝性和情感性，我们可以通过直觉的这些特性带给我们的启示来增强我们的数学直觉.这才是我们研究它的最终目的。例如：当我们在解决某一问题而百思不得其解时，可以有意无意的搁置一下，这种转换期间获得灵感的可能性是存在的。当持久的思索仍未找到答案时，暂时忘却它可能还会增加其它联想的机会。有意识地进行各种形式的学习交流是十分必要的。直觉的突发性和易逝性直接提醒我们，偶然迸发出的思想火花应及时记载下来。同时，勤于思索是最重要的基础，没有这一必要的基础一切机遇都会丧失。

综上所述，直觉在数学发现和创造方面的作用是毋庸置疑的，它是我们数学研究的开端，是我们可以借助的直观形象。我们要在今后的教学中注重培养学生的直觉。

参考文献：

张楚廷 《数学文化》 高等教育出版社 王庚 《数学文化与数学教育》