小学5-6年级杯赛奥数详解

如果加数的个数（项数）是奇数（单数），也可以直接用排列在正中间的数（中间项）乘以项数，去求它们的和。例如

=15×9 （中间项） =135

【连续奇数求和】连续奇数的求和，也可以用上面介绍的“连续自然数求和的速算”方法去速算。例如 3+5＋7+ 9＋11＋13+ 15＋17＋19 ＝（3＋19）÷2×9 =11×9 =99

=11（中间项）×9（项数） =99

如果是从1开始的几个连续奇数求和，则可以用这些奇数的个数自乘，便得到这几个连续奇数的和。例如 1＋3＋5+ 7＋9＋11=6×6=36（奇数个数是6） 1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21 =11×11

=121。（奇数个数是11）

【连续偶数求和】 连续偶数的求和，同样可以用“连续自然数求和的速算”方法速算。例如 8＋10＋12＋14＋16＋18+20+22＋24 ＝（8＋24）÷2×9 =144

如果连续偶数是从2开始的，即求从2开始的连续偶数之和，则可以用这些偶数的个数乘以个数加1之和，就得到这几个连续偶数的和。例如

2＋4＋6＋8＋10=5×（5+1）（偶数个数是5） =30

2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＋24＋26 =13×（13＋1）（偶数个数是13） =182

37、利用间接条件

【利用隐含的间接条件】 发现和利用隐含的间接条件来解答题目，往往能克服所学知识不够所造成的困难，大大减少计算的时间。例如

如图4.65，已知正方形面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。

一般解法是用正方形面积，减去圆的面积。但在小学阶段，大家还不会求圆的半径或直径怎么办呢？ 因为圆面积公式是

刃而解。至于能否求出r或d这样的直接条件，是并不重要的。所以，可以用下面的方法来解答：

便是

18-14.3=3.87（平方厘米）

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阴影部分的面积便是

18-14.13=3.87（平方厘米）

（3）若把正方形面积扩大2倍，则面积为36平方厘米，新正方形的边长就是6厘米，即随之也扩大了2倍的新圆的直径为6厘米，半径为3厘米。所以随之而扩大了2倍的阴影部分的面积是

=7.74（平方厘米）

原来的阴影部分的面积便是 7.74÷2=3.87（平方厘米）

又如，如图4.66，ABCD为矩形，里面有一个最大的半圆，OC=10厘米，求阴影部分的面积。

解题时，可将矩形分割为两个小正方形，并连结O、D。因为△DOC是等腰三角形，OC=OD=10厘米，所以

故阴影部分的面积便是

100-3.14×50÷2＝100-78.5 =21.5（平方厘米）

【利用定比】 利用题目中不变的“定比”来解题，有时也能使题目得到较快地解答。这也是利用间接条件去解答题目。

我们仍以上面的第一个例子（图4.65）为例。按照扩、缩图形的思路，可将它一分为四，得到图4.67。

小正方形的面积和阴影部分的面积也会改变。不过，变化中有个不变的因素，即阴影部分面积和小正方形面积之比是不变的。实际上，这也是题目中的一个间接条件。 设小正方形边长为a，则阴影部分面积占小正方形面积的

所以，原图阴影部分的面积是

18÷4×21.5％×4=4.5×21.5％×4 =0.9675×4

=3.87（平方厘米）

或者是18×21.5％=3.87（平方厘米）

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显然，只要是由这样的基本图形拼合的图形，如以下四图（图4.68），都可用“21.5％”（即21.5∶100）这一定比，去求图中的阴影部分的面积。（解略）

38、立体图形的计算

【表面积的计算】

例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。

（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）

讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。

所以，60块长方体的表面积之和是 （1×1）×24＝24（平方米）。

例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面积。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。

俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。 所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。 【体积的计算】

例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）

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（全国第四届“华杯赛”复赛试题）

讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方

即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。

例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。

（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。

讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。 三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。 所以，打孔后剩下部分的体积是4×4×4—10=54（立方厘米）。

例3 一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：解本题的关键，是要想到每次以哪个边长作棱长去切下正方体。实际上，我们可以将三个数轮换相减，即，在三个数 21、 15、12中，第一次取最小数12为棱长切下一个正方体；第二次取大数与

小数的差21—12=9为棱长切下一个正方体；第三次取15与9的差为棱长切下一个正方体（如图5.73）

所以，剩下的体积是

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21×15×12-（12+9+6)=107（立方厘米）。

39、解应用题的公式

【和差问题公式】

（和+差）÷2=较大数； （和-差）÷2=较小数。 【和倍问题公式】

和÷（倍数+1）=一倍数；

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