算法设计与分析试卷及答案

算法设计与分析

1、(1) 证明：O(f)+O(g)=O(f+g)（7分） (2) 求下列函数的渐近表达式：（6分） ① 3n2+10n; ② 21+1/n;

2、对于下列各组函数f(n)和g(n)，确定f(n)=O(g(n))或f(n)=Ω(g(n))或f(n)=θ(g(n))，并简述理由。（15分）

2f(n)?logn;g(n)?logn?5; (1)

2f(n)?logn;g(n)?n; (2)

2f(n)?n;g(n)?logn; (3)

3、试用分治法对数组A[n]实现快速排序。（13分） 4、试用动态规划算法实现最长公共子序列问题。（15分）

5、试用贪心算法求解汽车加油问题：已知一辆汽车加满油后可行驶n公里，而旅途中有若干个加油站。试设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使加油次数最少。（12分）

6、试用动态规划算法实现下列问题：设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作，将字符串A转换为字符串B，这里所说的字符操作包括：

(1)删除一个字符。 (2)插入一个字符。

(3)将一个字符改为另一个字符。

将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离，记为d(A,B)。试设计一个有效算法，对任给的两个字符串A和B，计算出它们的编辑距离d(A,B)。

（16分）

7、试用回溯法解决下列整数变换问题：关于整数i的变换f和g定义如下：f(i)?3i;g(i)??i/2?。对于给定的两个整数n和m，要求用最少的变换f和g变换次数将n变为m。（16分）

1、⑴证明：令F(n)=O(f),则存在自然数n1、c1，使得对任意的自然数n≥n1，有：F(n)≤c1f(n)……………………………..（2分）

同理可令G(n)=O(g),则存在自然数n2、c2，使得对任意的自然数n≥n2，有：G(n)≤c2g(n)……………………………..（3分） 令c3=max{c1,c2},n3=max{n1,n2},则对所有的n≥n3，有： F(n)≤c1f(n)≤c3f(n)

G(n)≤c2g(n)≤c3g(n)……………………………..（5分） 故有：

O(f)+O(g)=F(n)+G(n)≤c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n)) 因此有：

O(f)+O(g)=O(f+g)……………………………..（7分） ⑵ 解：

(3n2?10n)?3n2lim?0;2n??3n?10n① 因为由渐近表达式的定义易知：

3n2是3n2+10n的渐近表达式。……………………………..（3分） ② 因为

21?1?21n?0,n??，由渐近表达式的定义易知： 121?n21是21?的渐近表达式。……………………………..（6分） 说明：函数T(n)的渐近表达式t(n)定义为：

T(n)?t(n)?0,n?? T(n)1n2、解：经分析结论为：

2logn??(logn?5);………………………….（5分） （1）

2logn??(n)；………………………….（10分） （2）

2n??(logn)；………………………….（15分） （3）

3、解：用分治法求解的算法代码如下： int partition(float A[],int p,int r) {

int i=p,j=r+1; float x=a[p]; while(1){ while(a[++i]x); if(i>=j) break;

a[i]←→a[j]……………………………..（4分） }; a[p]=a[j]; a[j]=x;

return j;……………………………..（7分） }

void Quicksort(float a[],int p,int r) { if(p

int q=partition(a,p,r);……………………………..（10分） Quicksort(a,p,q-1); Quicksort(a,q+1,r);