苏州市高三数学二轮复习示范课教案--4.高考中三角形的求解问题研究（丁益民）.doc

专题：高考中三角形的求解问题研究

江苏省苏州实验中学 丁益民

一．复习要点

1.运用正余弦定理进行边角互化解三角形，特别是有关求角、求值、求范围等问题； 2.综合三角恒等变换、向量运算等知识解决涉及三角形求解的综合问题. 二．基础训练

1.在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A、B、C，且sin2A?sin2C?sinA?sinC?sin2B，则角B= . 答案：

?. 3解析：由正弦定理得a2?c2?ac?b2，整理为a2?c2?b2?ac，由余弦定理得

?1cosB?,B?(0,?)，故B?.

322.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA?，b?3c，则sinC= . 答案:.

1313b2?c2?a2解析：由余弦定理cosA?及b?3c，得a2?8c2，a2?c2?9c2?b2，故

2bc1sinC?cosA?.

3????????3.已知△ABC的面积为S，且AB?AC?S，tan2A的值= .

4答案:?.

3????????1解析：由AB?AC?S得bccosA?bcsinA，知tanA?2,由二倍角公式

22tanA4tan2A?tan2A??，得.

1?tan2A34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC, bcosB, ccosA成等差数列，若b＝3，则a＋c的最大值为 . 答案:23.

解析：由题意知acosC?ccosA?2bcosB可得B??3，

思路1：运用正弦定理a?c?2sinA?2sinC?23sin(A?思路2：由余弦定理得b2?a2?c2?2accos?6)，得a?c的最大值；

?3，即(a?c)2?3ac?3，再由基本不等式

ac?(a?c2)可求a?c最大值. 2tanCtanC??1，则 tanAtanB5.在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若

a2?b2? . c2答案：3

sinCcosAcosBc2(?)?1，?1，解析：切化弦，再由正弦定理、余弦定理得2a?b2?c2cosCsinAsinB2a2?b2可得?3.

c2436.在三角形ABC中，AB =4，AC =2，内角A的平分线长AD =，则BC = .

3答案：23.

ABBD?解析：由角分线性质，设DC?x,BD?2x，分别在?ABD、?ACD中运用ACDC余弦定理，构造方程解得x即可. 三．例题讲评

???????????????? 例1 在?ABC中,已知AB?AC?3BA?BC. (1)求证:tanB?3tanA;

5，求A的值. 5???????????????? 解析：(1)∵AB?AC?3BA?BC,∴AB?AC?cosA=3BA?BC?cosB,

ACBC即AC?,∴sinB?=cosA=3BC?cosB. 由正弦定理,得cosA=3sinA?cosB.

sinBsinA又∵00 cos，B>0. sinBsinA∴即tanB?3tanA. =3?cosBcosA(2)若cosC??5?255(2)∵ cosC?，00,∴tanA=1.∴A=.

428b2 例2 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2C?1?2．

a11?（1）求的值； tanAtanC8（2）若tanB?，求tanA及tanC的值.

158b24b22 解析：（1）∵cos2C?1?2，∴sinC?2 ．

aa2b∵ C 为三角形内角，∴sinC?0,∴sinC?．

aabbsinB?∵，∴ ? ． ∴2sinB?sinAsinC sinAsinBasinA∵A?B?C??，∴sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC．

∴2sinAcosC?2cosAsinC?sinAsinC．

111?? ． tanAtaCn21112tanC??，∴tanA? （2）∵ ． tanAtanC2tanC?2tanA?tanCtan2c? ∵A?B?C??,∴tanB??tan(A?C)??．

1?tanAtanC2tan2C?tanC?28tan2c2?∴ 整理得tanC?tanC?16?0 2152tanC?tanC?2解得，tanC?4，tanA?4 ．

例3 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，AM是BC边上的中

∵sinA?sinC?0，∴

线.

（1）求证：AM?（2）若A??312b2?2c2?a2； 2，a?3，求AM的取值范围.

2 解析:(1)在?ABM中运用余弦定理AB即c2?AM2?BM2?2AM?BM?cos?AMB，

aa?AM2?()2?2AM?cos?AMB ①

22222在?ACM中运用余弦定理AC?AM?CM?2AM?CM?cos?AMC，即

aab2?AM2?()2?2AM?cos?AMC ②

222a222①+②得b?c?2AM?，整理得 21AM?2b2?2c2?a2，证毕.

2b2?c23（2）由（1）AM??．

24?由余弦定理a2?b2?c2?2bccos?b2?c2?bc?3，

3b2?c222∵0?b?c?3?bc≤，∴3?b2?c2≤6，

23933∴?AM2≤，即?AM≤． 44222（注：本题还可采用向量法、解几法、三角换元法等方法解决）

四．课堂总结

五．随堂练习

1.?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB? . 答案：

3 42.?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足acosB?bcosA?c，则

tanA= . tanB35答案：4

3.?ABC三边长为a,b,c，对应角为?A,?B,?C，已知2CA?CB?c2??a?b?，则?C? .

0答案：60.

4.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4，四边形ABCD的面积为 .

2答案：83.

BC?3, ?P??B?π，记?B??． 5.如图，点P在?ABC内，AB?CP?2,（1）试用?表示AP的长； A （2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时?的值． 解：（1）△ABC与△APC中，由余弦定理得，AC2?22?32?2?2?3cos? ， ①

? P AC2?AP2?22?2?AP?2cos?????，②

B 由①②得AP2?4APcos??12cos??9?0， ???0， ??，解得（第5题图）

AP?3?4?c；o

???0， ?? （2）S?S?ABC?S?APC?1?2?3sin??1?2?APsin?????,22 ??（13分）所以当???时，Smax?2． 由（1）得S?4sin??cos??2sin2?， ???0，4C

设计说明：

有关三角形中的求解问题是高考中的热点内容之一，几乎每年高考都会出现以解三角形为背景的试题，主要考查学生运用正、余弦定理以及其他知识（三角函数性质、三角恒等变换、向量运算、函数等知识）解决有关三角形求解问题的能力.

本节课是二轮复习课的“小专题”，定位是高考中的基本题、中档题（即高考试卷的第15题难度），设计了“基础训练”、“例题选讲”、“课堂总结”、“随堂练习”等环节，设想如下：

1.“基础训练”中以复习“基本知识与基本方法”为出发点，帮助学生梳理正余弦定理等基本知识，并逐渐浮现本节课重点;

2.在例题设置时，力求做到例题与小题相呼应，例题是对小题的补充与拓展，如例1是第3小题的拓展延伸，例3（2）与第4小题的背景一致，例2是第5小题的延续，例3与第6小题恰好是同类问题;

3.通过小题以及例题的讲解，还想提醒学生在后期复习中要重视课本，回归课本中重要定理、例题、习题的过关训练，并且在教师的引导下进行延拓与深究；

4.随堂训练选择了与前面小题、例题中类似的问题，目的是对本节课所讲知识点进行强化、针对性训练.