孪生素数

给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为 1。平均值为 1，最小值显然是小于等于 1，因此素数定理给出 Δ≤1。

对 Δ 的进一步估算始于 Hardy 和 Littlewood。一九二六年，他们运用圆法 (circle method) 证明了假如广义

Riemann 猜想成立，则 Δ≤2/3。这一结果后来被被 Rankin 改进为 Δ≤3/5。但是这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义

Riemann 猜想，因此只能算是有条件的结果。一九四零年，Erdös 利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ<1

(即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。此后 Ricci 于一九五五年， Bombieri 和 Davenport 于一九六六年，Huxley

于一九七七年， 分别把这一结果推进到 Δ≤15/16， Δ≤(2+√3)/8≈0.4665 及 Δ≤0.4425。 Goldston 和

Yildirim 之前最好的结果是 Maier 在一九八六年取得的 Δ≤0.2486。

以上这些结果都是在小数点后做文章， Goldston 和 Yildirim 的结果把这一系列的努力大大推进了一步，并且 - 如果得到证实的话 -

将在一定意义上终结对 Δ 进行数值估算的长达几十年的征途，因为 Goldston 和 Yildirim 证明了 Δ=0。当然如我们前面所说，Δ=0

只是孪生素数猜想成立的必要条件，而非充份条件，因此 Goldston 和 Yildirim

的结果离最终证明孪生素数猜想还远得很，但它无疑是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。

一旦 Δ=0 被证明，人们的注意力自然就转到了研究 Δ 趋于 0 的方式上来。孪生素数猜想要求 Δ ~ [log(pn)]-1 (因为

pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立)。 Goldston 和 Yildirim 的证明给出的是 Δ ~

[log(pn)]-1/9，两者之间还有相当距离。但是看过 Goldston 和 Yildirim 手

稿的一些数学家认为 Goldston 和

Yildirim 所用的方法明显存在改进的空间，也就是说对 Δ 趋于 0 的方式可以给出更强的估计。因此 Goldston 和 Yildirim

的证明其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。这种系列研究对于数学来说有着双重的价值，因为一方面这种研究所获得的新结果是对数学的直接贡献，另一方面这种研究对 Goldston 和 Yildirim

的证明会起到反复推敲和核实的作用。现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。以前四色定理和 Fermat 大定理都曾有过一个证明时隔几年 (甚至十几年)

才被发现错误的例子。因此一个复杂的数学结果能够成为进一步研究的起点，吸引其它数学家的参与对于最终判定该结果的正确性具有极其正面的意义。

本文到此就结束了，再过一个多月 (五月二十二日) 就是陈景润先生七十周年诞辰的日子。谨以本文纪念这位在数论领域中功绩卓著的中国数学家。

二零零三年四月六日写于纽约 http://www.changhai.org/

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注释

[注一] Hardy-Littlewood 于一九二三年提出的猜想共有两个， 其中第一个猜想又称为 k-tuple 猜想， 它给出了所有形如 (p,

p+2m1, ... , p+2mk) (其中 0

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补注： 二零零三年四月二十三日， Andrew Granville (University de Montreal) 和 Kannan

Soundararajan (University of Michigan) 发现了 Goldston 和 Yildirim 证明中的一个错误。

截至目前， Goldston 和 Yildirim 已经承认、 但尚未能更正这一错误。 谢谢刘逢绥读者来信提醒我注意这一信息。 (2003-07-03)

对了，我有一点，虽然不能证明孪生素数有无穷多对，但可以帮助数学爱好者证明：

素数除了2以外都是奇数，而奇数除了【奇数*奇数】（或再加“*奇数”）以外都是素数，那么孪生素数有有限对的等价就是超出一个范围后每隔4或2就有一个是n个奇数的乘积。（参见“素数”）

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