孪生素数

孪生素数

要介绍孪生素数，首先当然要说一说素数这个概念。

素数是除了 1 和它本身之外没有其它因子的自然数。素数是数论中最纯粹、最令人着迷的概念。除了 2 之外，所有素数都是奇数 (因为否则的话除了 1 和它本身之外还有一个因子 2，从而不满足素数的定义)，因此很明显大于 2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是 2。

所谓孪生素数指的就是这种间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。最小的孪生素数是 (3, 5)，在 100 以内的孪生素数还有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (71,

73)，总计有 8

组。但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。那么会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？

我们知道，素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏，不过幸运的是早在古希腊时代，Euclid 就证明了素数有无穷多个

(否则今天许多数论学家就得另谋生路)。长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组，这就是与 Goldbach

猜想齐名、集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想 - 孪生素数猜想：

孪生素数猜想：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。

究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过，但是一八四九年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数 2k,

存在无穷多组以 2k 为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac

作为孪生素数猜想的提出者。不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，

k=1 我们已经知道叫做孪生素数， k=2 (即间隔为 4) 的素数对被称为 cousin prime (比 twin 远一点)，而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (这回该相信

“书中自有颜如玉” 了)！不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。:-)

孪生素数猜想还有一个更强的形式，由英国数学家 Hardy 和 Littlewood 于一九二三年提出，现在通常称为 Hardy-Littlewood

猜想或强孪生素数猜想[注一]。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多组，而且还给出其渐近分布形式为： x

π2(x)~2C2∫dt/(lnt)^2 2

其中 π2(x) 表示小于 x 的孪生素数的数目， C2 被称为孪生素数常数 (twin prime constant)，其数值为：

C2=∏P(P-2)/(p-1)^2≈0.66016118158468695739278121100145... p≥3

Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布的精确程度可以由下表看出：

x 孪生素数数目 Hardy-Littlewood 猜想 100,000 1224 1249 1,000,000 8,169 8,248 10,000,000 58,980 58,754 100,000,000 440,312 440,368 10,000,000,000 27,412,679 27,411,417

很明显，Hardy-Littlewood 猜想的对孪生素数分布的拟合程度是惊人的。 如此精彩的拟合堪与自然科学史上 Adams 和

Leverrier 运用天体摄动规律对海王星位置的预言以及 Einstein 对光线引力偏转的预言相媲美，是理性思维的动人篇章。这种数据对于纯数学的证明虽没有实质的帮助，但是它大大增强了人们对孪生素数猜想的信心。

顺便说一下，Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布规律可以通过一个简单的定性分析 “得到”：我们知道素数定理 (prime

number theorem) 表明对于足够大的 x, 在 x 附近素数的分布密度大约为 1/ln(x)，因此两个素数处于区间 2 以内的概率大约为

2/ln2(x)。这几乎正好就是 Hardy-Littlewood 猜想中的被积函数！当然其中还差了一个孪生素数常数 C2，而这个常数很显然正是 Handy 与 Littlewood 的功力深厚之处！

除了 Hardy-Littlewood 猜想与孪生素数实际分布之间的拟合外，对孪生素数猜想的另一类 “实验”

支持来自于对越来越大的孪生素数的直接寻找。就象对于大素数的寻找一样，这种寻找在很大程度上成为对计算机运算能力的一种检验，一九九四年十月三十日，这种寻找竟然导致发现了

Intel Pentium 处理器浮点除法运算的一个 bug，在工程界引起了不小的震动。截至二零零二年底，人们发现的最大的孪生素数是：

(33218925×2169690-1, 33218925×2169690+1)

这对素数中的每一个都长达 51090 位！许多年来这种记录一直被持续而成功地刷新着。

好了，介绍了这么多关于孪生素数的资料，现在该说说人们在证明孪生素数猜想上所走过的路了。

迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润 (顺便说一下，美国数学学会在介绍 Goldston 和 Yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是 “伟大的中国数学家陈”) 利用筛法

(sieve method) 所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果和他关于

Goldbach 猜想的结果很类似。目前一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。

证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的，Goldston 和 Yildirim 所取得的结果也属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：

Δ := lim inf[(P(n+1)-Pn)/ln(Pn)] n→∞

翻译成白话文，这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然孪生素数猜想如果成立，那么

Δ 必须等于 0，因为孪生素数猜想表明 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立，而 ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合

(从而对于整个素数集合也) 趋于零。不过要注意 Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充份条件。换句话说如果能证明 Δ≠0

则孪生素数猜想就不成立，但证明 Δ=0 却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。

对于 Δ 最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的 x, 在 x 附近素数出现的几率为 1/ln(x)，这表明素数之间的平均间隔为

ln(x) (这也正是 Δ 的表达式中出现 ln(pn) 的原因)，从而 (pn+1-pn)/ln(pn)