线性代数第一章 行列式

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课程名称：线性代数简明教程 编写时间：2011年9月04 日 授课章节 目的要求 重点难点 第一章 行列式 了解多个变量多个线性方程组成的线性方程组求解问题 行列式的运算，克拉默法则 1、数域与排列 研究某些问题时，常和所研究对象的取值范围有关．如求方程 x2?1?0的根，不仅在有理数范围无解，就是在实数范围也无解，而在复数范围有解，解为±i．又如在整数范围内，除法不是普遍可做的，因商不一定是整数，而在有理数范围内，只要除数不为零，除法总是可做的．另一方面，这些范围不同的有理数、实数、复数有着许多共同的性质，特别地，有着许多共同的运算（指加法、减法、乘法和除法）性质．如加法、乘法的可交换性，加法、乘法的可结合性等．为了在以后的讨论中能把具有这些共同运算性质的数集统一处理，我们引入一个一般的概念． 定义1.1.1 设P是至少有两个不同复数组成的集合，若P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍为P中的数，则P就称为一个数域． 定义1.1.2 由１，２，?，n共n个数码组成的一个有序数组，称为一个n阶排列．将一个排列中某两个数码的位置互换，而其余数码不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换. 定理1.1.1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性。 习题1.1 5.在１，２，３，４，５，６，７，８，９组成的下述排列中，选择i与j使得 第 次 第1页

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（１）２１４７i９５j８为偶排列； （２）１i２５j４８９６为奇排列； （３）４１２i５７６９j为偶排列； （４）i３１４２j７８６为奇排列． 且均要说明理由。 2、行列式的定义 定义1.2.1 设x1,x2,...,xn是变量，n是一个正整数，形式表达式 a1x1?a2x2?...?anxn?b 其中a1,a2,...,an,b均为数，称为n个变量x1,x2,...,xn的线性方程，线性方程中的变量也称为未知量． 例1.2．1 解线性方程组 ?x1?x2 =a ,?? x2?x3?b , ?x+ x?c.3?1经计算，其共同特征可概括如下： （１）二阶行列式是２！＝２项的代数和，其中每一项是取自不同行不同列的两个元素的乘积．三阶行列式是３！＝６项的代数和，其中每一项是取自不同行不同列的三个元素的乘积．且任意三个不同行不同列的元素的乘积都是展开式中的一项。 （２）代数和中每一项的正负号是这样决定的：当行指标取成标准排列时，由列指标组成排列的奇偶性确定，偶者为正，奇者为负． 定义1.2.3 由n个元素ai,j（i，j＝１，２，?，n）排成n行n2第 次 第2页

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列，记为 a11 a12... a1na21 a22...a2n......an1 an2 ...ann称为n阶行列式．它是取自式中所有属于不同行不同列的n个元素乘积a1j1a2j2anjn（称为通项）的代数和，其中j1j2jn是某个n阶排列，故共有n！项．每项前的符号按下述规则选取：当?(j1j2jn)是偶排列时取正号，当?(j1j2jn)为奇排列时取负号。 习题1.2 ５ ．写出４ 阶行列式aij中所有取负号且包含因子a23的项． 3、行列式的性质 计算n阶行列式是本章的中心课题之一，然而从定义出发，只有计算某些特殊的行列式（如上三角形行列式）才较为可行．对一般的行列式而言，随着行列式阶数n的增大，用定义来计算行列式，其计算量是相当大的．一个n阶行列式按定义展开，要做（n－1）× n！次乘法（请注意50！＝3.041×1064 ，60！＝8.321×10）．而在81天气预测、大地测量等实际课题中所需解的线性方程组，其变量成百上千．本节将研究行列式的性质，这些性质不仅能简化行列式的计算，而且在理论上也相当重要． 性质1 D＝D（行列互换，行列式的值不变） 性质2 如果行列式中两行（列）互换，行列式的值只改变一个符号。 T第 次 第3页

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推论1 行列式若有两行（列）对应元素全相等，行列式为零． 性质3 以数k乘行列式中某一行（列）中所有元素，等于用k去乘此行列式．换言之，行列式某一行（列）所有元素有公因子k，可将k提到行列式记号外相乘. 推论2 若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式为零． 性质4 若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式为零． 性质5 分行（列）相加性 a11 a12... a1na21 a22...a2n......an1 an2 ...anna11 a12... a1n＝ a11 a12... a1n+bi1 bi2...bin......an1 an2 ...annci1 ci2...cin......an1 an2 ...ann 性质6 行列式的某一行（列）元素加上另一行（列）对应元素的k倍，行列式不变. 例1.3.5计算n阶行列式 a b b ...b a b......b b b ......D＝b b a ...bbb a4、行列式按行（列）展开 本节将考虑如何把高阶行列式归化为低阶行列式．由于三阶、二阶行列式可直接写出，故这也是求行列式的有效途径． 第 次 第4页