2019高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例问题导学案新人教A版必修52

2.5 平面向量应用举例

问题导学

一、向量在平面几何中的应用 活动与探究1

2222

如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB－AC=DB－DC．

求证：AD⊥BC． 迁移与应用

如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．

(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．

二、向量在物理中的应用 活动与探究2

在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．

迁移与应用

如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．

求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．

向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决问题的关键．

1

当堂检测

1．若向量OF1＝(2,2)，OF2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(0,5) B．(4，－1) C．22 D．5

2．在四边形ABCD中，若AB＋CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为( ) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形

3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( )

A．2 B．3 C．4 D．8 4．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则BA·BC＝__________．

5．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功为________．

提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1．向量 2．加

3．向量 向量问题 数量积

预习交流 提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的． 课堂合作探究 【问题导学】

活动与探究1 思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．

证明：设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d．

222222

∴a－b＝(e＋c)－(e＋d)＝c＋2e·c－2e·d－d．

2222

由已知a－b＝c－d，

2222

∴c＋2e·c－2e·d－d＝c－d，即e·(c－d)＝0． ∵BC＝BD＋DC＝d－c， ∴AD·BC＝e·(d－c)＝0．

∴AD⊥BC，即AD⊥BC．

迁移与应用 证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令|AD|=1，则|DC|=1，|AB|=2．

2

∵CE⊥AB，而AD=DC， ∴四边形AECD为正方形．

∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)． (1)∵ED=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，

BC=(0,1)－(1,0)=(－1,1)， ∴ED=BC，

∴ED∥BC，即DE∥BC．

(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点， ∴M?0,?，

??1?2?1??1???， 2??2??1??1??MB=(1,0)－?0,?=?1,??．

2??2??∴MD=－MB，∴MD∥MB．

∴MD=(－1,1)－?0,?=??1,又MD与MB有公共点M， ∴D，M，B三点共线．

活动与探究2 思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．

解：设ω=风速，va=有风时飞机的航行速度，νb=无风时飞机的航行速度，νb=νa－ω．如图所示．

设|AB|=|νa|，|CB|=|ω|，|AC|=|νb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E， 则∠BAD=45°．

设|AB|=150，则|CB|=75(6?2)． ∴|CD|=|BE|=|EA|=752，|DA|=756． 从而|AC|=1502，∠CAD=30°． ∴|νb|=1502km/h，方向为北偏西60°．

3

迁移与应用 解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G=F1+F2，|F1|=G，cos?|F2|=|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．

(2)令|F1|=

Gcos?，由|F≤2|G|得 cos θ≥11|2． 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．

【当堂检测】

1．D 解析：|F1＋F2|＝|OF1＋OF2| ＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．

2．D 解析：∵AB∥CD，|AB|＝|CD|，且AC⊥BD， 故四边形为菱形．

3．B 解析：|ν|＝12＋22

＝5，

又|AB|＝(7－4)2＋(12－6)2

＝45，

∴时间t＝45

5

＝3．

4．16 解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形， ∴BA＝42，∠ABC＝45°，

∴BA·BC＝42×4×cos 45°＝16． 5．1 解析：W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3)＝

4