高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册

.

?4.设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?6x2?8y2?在点P处沿方向n的方向导数.z

四、设u,v都是x,y,z的函数，u,v的各偏导数存在且连续， 证明：grad(uv)=vgradu+ugradv.

第 八 节 作 业

一、填空题：

1. 函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极大值为 。

2. 设函数z=z(x,y)由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0所确定，则函数z的驻点为 。 3. 函数z=xy在闭区域x≥0，y≥0, x+y≤1上的最大值为 。 二、选择题（单选）：

1.z?x?2y在满足x2?y2?5的条件下的极小值为:(A)5;(B)?5;(C)25;(D)?25.

答：（ ） 2. 函数z=x2+y3在(0,0)处：

（A）有极大值； （B）有极小值； （C）没有极值； （D）既有极大值又有极小值。 答：（ ） 三、试解下列各题：

1. 求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值。

'.

.

2. 要造一个容积等于k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

四、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？

第 八 章 综 合 作 业

一、填空题（每小题4分，共20分）：

1.已知u?xy?yz?zx,则gradu2.设z?xyex2(1,2,3)?...

?y2?sinx?z,则??xy23.设z?arctanx?y,则dz?x?y4.曲面z?x2?3y2在点(1,1,4)处的法线方程是5.设z?f(x,y)在点(x0,y0)处存在一阶偏导数,且在(x0,y0)处取得极值则必有成立.二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）： 1. lim3xyxy?1?1x?0y?0?

（A）3； （B）6； （C）不存在； （D）∞.

答：（ ）

2. 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处：

（A）偏导数存在，则f(x,y)在该点一定可微； （B）连续，则f(x,y)在该点偏导数一定存在； （C）有极限，则f(x,y)在该点一定连续；

（D）可微，则f(x,y)在该点连续且偏导数一定存在。

'.

.

答：（ ）

'.

.

3.曲线x?sint,y?cos2t,z?sintcost在对应于t??处的切线与xoy面的夹角是: ???1(A);(B);(C);(D)arccos.2343 答：（ ）

4.函数z=2x3-4x2+2xy-y2的极值点为：

（A）（0，0）； （B）（1，1）； （C）（0，0）与（1，1） （D）无极值点。 答：（ ） 三、试解下列各题（每小题7分，共28分）：

1.设f(x,y,z)?zx,求df(1,1,1).y?2z2.设e?xyz?0,求.?x?yz2.设u?x2?y2?z2,x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?,求?u?u?u,,.?r????4.设u?f(x?y?z,x2?y2?z2),其中f具有二阶连续偏导数,求uxx?uyy?uzz.

四、求曲面e?exzyz

?4在点(ln2,ln2,1)处的切平面及法线方程(7分).

'.