高等数学(B)(1)第三单元辅导

高等数学（B）（1）第三单元辅导

一、导数与微分

1． 导数概念

导数概念是微积分最重要的概念之一，读者应从下列几方面加以理解。

（1）导数定义的实质

导数f'(x0)是函数f(x)在x0处的变化率（即瞬时变化率），它反映了函数f(x)在x0处相对于自变量变化的快慢程度。例如，变速直线运动的瞬时速度，反映了质点在t0时刻，位移s(t)相对于时间变化的快慢，在自然科学和工程技术的许多问题中，都要涉及到变化率的概念（即导数概念）。 （2）三种等价形式

导数定义中，若令x?x0??x，则?x?x?x0，且当?x?0时，有x?x0，从而

f'(x0)?limf(x)?f(x0)

x?x0x?x0这就是函数f(x)在点x0处的导数的一种等价定义。

另一种等价形式是，在导数定义中令?x?h，则?x?0就是h?0。从而又有 f(x0?h)?f(x0) f'(x0)?lim

hh?0f'(x0)的不同形式为讨论不同问题提供了多种手段。

（3）导函数

上面定义的是函数f(x)在点x0处的导数概念。如果函数f(x)在区间(a，b)内任意一点处都可导，就说函数f(x)在区间(a，b)内可导。这时，对于每一点x?(a，b)，都有导数值f'(x)与之对应，所以f'(x)也是x的函数，称f'(x)为f(x)的导函数，也可记作

y'，计算导函数的公式为

f(x??x)?f(x)

?x?x?0显然，知道了导函数f'(x)，要求函数f(x)在x0处的导数只要把x?x0代入导函数f'(x)dydf(x)

或 dxdx

f'(x)?lim中去求值就行了。所以，函数f(x)在x0处的导数 实际上就是导函数f'(x)在x0处的值。

导函数也简称为导数。

（4）导数的几何意义

函数y?f(x)在x处的导数f'(x)就是曲线y?f(x)在对应点P(x,y)处的切线的斜率。 根据上述导数的几何意义，得到曲线y?f(x)在点x0处的切线方程和法线方程分别为： y?y0?f'(x0)(x?x0) y?y0??1(x?x0) (f'(x0)?0) f'(x0)当f'(x0)?0时，法线平行于y轴，其方程为 x?x0

当曲线y?f(x)在点x0处的切线平行于y轴时，法线平行与x轴，其方程为 y?f(x0)

2． 微分概念

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（1）微分定义的实质

在自然科学与工程技术中，常会遇到于导数密切相关的一种问题：在运动或变化过程中，当子变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。

设y随x均匀变化，即y?kx?b(其中k?0)，则函数的改变量?y与自变量的改变量?x之间成简单的线性（正比）关系：

?y?k?x

对于一般的函数y?f(x)，?y与?x之间的关系是比较复杂的，但是能否用线性关系去近似呢？近似后所产生的误差有怎样呢？现在就可导函数y?f(x)来研究这个问题。

当函数y?f(x)在x0可导时，有

f'(x0)?lim 或写成

lim??f'(x0)??0

?x?0??x?上式表明，???y??f'(x0)?是当?x?0时的无穷小，因此写为 ??x???y???y??y

?x?0?x ??f'(x0)???

??x?即 ?y?f'(x0)?x???x

其中?为当?x?0时的无穷小，可见，?y是由两项之和构成，其中第一项f'?x0??x与?x成线性关系，且当?x?0，f'?x0??0时，它是?x的同阶无穷小；而第二项，由于

a?x?0 （?x?0） ?x故它是?x的高阶无穷小。这就表明：当?x充分小，且f'?x0??0时，第二项的绝对值比第一项的绝对值要小得多。从而与?x成线性关系的f'?x0??x构成了?y的主要部分，简称为?y的线性主部。

由上面分析，可以看出，如果取f'?x0??x作为?y的近似值，即

?y?f'?x0??x

不但得到了?y与?x之间的近似线性关系，而且还可以知道近似后的误差a?x是?x的高阶无穷小。对于?y的线性主部f'?x0??x（这就是微分定义的实质），

函数y?f(x)在x0的微分可以写成

dy=f'?x0?dx

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当函数y?f(x)在x0有微分时，我们说f?x?在x0可微。当f?x?在区间(a,b)内的每一点都可微时，我们就说f?x?在该区间内可微，这时，上述微分表达式中，x0的下标可以去掉，写成

dy=f'(x)dx

由微分定义可知，一个可微函数一定可导；同时，一个可导函数也一定可微，因为求出了导数后，只要乘上dx，就是相应的微分。因此，可导是可微的充要条件。

引入微分后，导数也叫做“微商”，即函数的微分dy与自变量的微分dx之商

dy。 dx（2）微分的几何意义

P?x0,y0?和Q?x0??x,y0??y?是曲线y?f(x)上邻近的两点，图2中，PT是曲线在点P处的切线，它的倾角为?。由图容易得：

RT?PRtg??f'?x0??x=dy

它表示，当自变量有改变量?x时，曲线y?f(x)在对应点P?x0,y0?的切线上纵坐标的改变

量就是微分dy。

3． 导数与微分运算

（1）显函数的微分法 求显函数的导数或微分，只要直接应用和、差、积、商及复合函数的求导法（或微分法）即可。

（2）复合函数微分法

复合函数求导时，先要搞清复合关系，可以“由外往里层层剥”地设置中间变量。

4． 高阶导数

函数y?f(x)的导数y?f'(x)的导数，叫做y?f(x)的二阶导数，记作 f''(x)，y''，

d2f(x)dx2或

d2ydx2

通常把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数。求高阶导数只要反复地用求一阶导数的方 法。

二、导数的应用

前面我们研究了导数和微分概念，确立了微分法。这节将应用导数来研究函数及其图

像的性质（包括函数的增减性、凹凸性、极值等），并运用这些性质解决最大（小）值问题。

因此，它的重点是“应用”，应用时要注意各种条件与结论（包括必要条件、充分条件等），以及各类问题的解题步骤。

我们知道，函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。

1． 中值定理

微分学中有费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理。 拉格朗日定理 如果函数y?f(x)满足： （ⅰ）在闭区间[a，b]上连续； （ⅱ）在开区间(a，b)内可导， 则在(a，b)内至少存在一点?，使

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f'(?)?f(b)?f(a) (a???b)

b?a需要注意的是，拉格朗日定理并没有给出求?值的具体方法，它只是肯定了?值的存

在，并且至少有一个。如图3中的函数y?f(x)，在(a，b)有?1与?2两个。拉格朗日定理的意义是：建立了函数y?f(x)在区间[a，b]上的改变量f(b)?f(a)与函数在区间(a，b)内某一点?处的导数之间的关系，从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。

2． 用导数研究函数的性质

为了使论述方便，我们将使用记号I0和I，它们分别表示开区间(a，b)和闭区间[a，

b]。

函数单调性的判别法。

设f在区间I上连续且在区间I0上可导，则

（1） 如果函数f在区间I0上满足f'(x)?0，则函数f在区间I为递增函数； （2） 如果函数f在区间I0上满足f'(x)?0 ，则函数f在区间I为递减函数。 （3） 如果函数f在区间I0上满足f'(x)?0 ，则函数f在区间I为常数。 3．曲线的上下凹性

函数曲线的向上凹或向下凹、曲线的拐点可以用函数的二阶导数来确定。 设f'在区间I上连续且在区间I0上可导，则

（1） 如果函数f'在区间I0上满足f''(x)?0，则函数f'在区间I为递增函数，函数曲线

上凹；

（2） 如果函数f'在区间I0上满足f''(x)?0 ，则函数f'在区间I为递减函数，函数曲线下凹。

4．局部极值性

我们说f在点x0达到极大值，指的是在x0的领域内f(x0)为最大， 同样，f在点x0达到极小值，指的是在x0的领域内f(x0)为最小， 函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值），那只是就点x0附近一个局部范围来说，f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值），如果就函数f(x)整个定义域来说，f(x0)不见得是函数f(x)极大值（或极小值）。

我们在微分中值定理一节曾经提到，如果函数f(x)可导，并且点x0是它的极值点，那么点x0必定是它的驻点，但是函数的驻点未必是它的极值点。如函数f(x)?x3，点x0=0是它的驻点，但是在(??,??)内函数f(x)?x3是单调增加的，所以点x0=0不是它的极值点，可见，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它不可导点处也可能取得极值，如函数f(x)?x在点x0=0处不可导，但是在该点取得极小值。

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最大值与最小值

现在设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)可导，根据闭区间上连续函数的性质可知，函数f(x)在闭区间[a，b]的最大值、最小值必定存在；其次，如果最大值或最小值在开区间(a，b)内的某一点x0取得，那么这个最大值或最小值f(x0)必定是函数f(x)的一个极大值或极小值。于是，点x0必定为函数f(x)的驻点；最后，函数f(x)的最大值或最小值也可能是在x?a或x?b处取得。我们通过一个例子来看一看最大值或最小值的求法过程。

例： 求函数f(x)?x?2ex在闭区间[0，3]上的最大值与最小值。 解 首先求函数f(x)?x?2ex的导数。

x???(x?2)e当0?x?2, f(x)??x??(x?2)e当2?x?3.x???(x?1)e当0?x?2, f'(x)??x??(x?1)e当2?x?3.3)内x?1是f(x)的驻点， 可见，在(0，又，x?2是f(x)的不可导点。由于f(0)=2，f(1)=e，f(2)=0，f(3)=e3，可见，f(x)在x?2时取得最小值0，在x?3时取得最大值e3。

5．洛必达法则

用洛必达法则需注意几点：必须是未定式，不是未定式不能用洛必达法则。必须满足洛必达法则的条件才能用，否则不能用。用洛必达法则计算虽然很方便，但它不是万能的。有些未定式满足洛必达法则条件，极限也存在，可是用洛必达法则无法求出。用洛必达法则计算未定式时，最好与极限求法联合起来使用，这样使运算简捷。

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