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实变函数复习题2010版
16． 设E2??(x,y)x2?y2?1?,求E2在R2内的E1?? ,
?E1? ,E1? .
17． 设P表示Cantor集,则P 完全集; P 内点;P? ;mP? .
18． 设(X,d)是度量空间,?Pn??X,P0?X,则limPn?P0是指 n?? .
19． 设E?Rn,则E的L外测度定义为:m?E? 其中 .
20． 设E?Rn,则称E是L可测的是指: .
21． 设E?Rn,?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x).则存在?fn(x)?的子列?fn(x)?,使得
i?fni(x)在E上 收敛于f(x).
?22． Rn中可测集的全体所成的集类?是一 代数. 23． 设E表示(0,1)中的无理数构成的点集,则E? .
24． 设E是平面上单位正方形[0,1]?[0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则
mE?__________.
25． 设f(x)是定义在可测集E?Rn上的广义实值函数,则称f(x)在E上是可测的是指: .
26． 函数f(x)? 是不可测函数,其中 .
s27． 若?(x)的定义域E可分解为有限个互不相交的可测集合E1,E2,?,Es,E??Ei?1i,且当
x?Ei时,?(x)? ,i?1,2,?,s.则称f(x)是简单函数.
28． 设⑴mE??;⑵?fn(x)?是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶limfn(x)?f(x)a.e.于E,
n??且f(x)??a.e.于E.则???0,?E??E,使得mE???,而?fn(x)?在 上一致收敛于f(x).
29． 设f(x)是E上a.e.有限的可测函数,则???0,存在闭子集F??E,使f(x)在 上是连续函数,且m(E?F?)??.
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实变函数复习题2010版
30． 设f(x)是[0,1]上的Riemann可积函数，E是f(x)的不连续点全体，则mE?_________. 31． 函数f(x)? 在[0,1]上的Riemann可积但不Lebesgue可积的.
?x,?e,x32． 设f(x)??x?P,x?[0,1]\\P.其中P是Cantor集,则??0,1?f(x)dx?________.
33． 设f(x)?sinx,x?[0,2?],则f?(x)? ; f?(x)? . 34． 设E?Rn.则f(x)在E上L可积的充要条件是f?(x)与f?(x)在E上 . 35． 设E?Rn.若f(x)在E上L可积,则mE[f???]? .
s36． 若?(x)的定义域E可分解为有限个互不相交的可测集合E1,E2,?,Es,E??Ei?1i,且当
x?Ei时,?(x)?ci,i?1,2,?,s.则?(x)在E上的L积分定义为??(x)dx? .
L37． 设f(x)是可测集E?Rn上的非负可测函数,则f(x)在E上的L积分定义为
?Ef(x)dx? .
??38． 设f(x)是可测集E?Rn上的可测函数,若?f(x)dx与?f(x)dx中至少有一个是有限数,
EE则f(x)在E上的L积分定义为?f(x)dx? .
E三、判断题(判断下列命题正确与否,正确的在题前的括号内填“是”，错误的在题前的括号内填“否”): （ ）1. 任何无限集合必有可数真子集. （ ）2. 可数个可数集合的并集是可数集.
1（ ）3. 设A,B?R,若A?B,则mA?mB.
（ ）4. 集合的对等关系是等价关系.
（ ）5. 可数多个可测集合的交仍是可测集合. （ ）6. 可数多个可测集合的并仍是可测集合.
（ ）7. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并.
（ ）8. 平面上的开集可以表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并. （ ）9. 零测集上的任何函数均可测.
（ ）10. 任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. （ ）11. 开集减闭集后的差集仍是开集. （ ）12. 闭集减开集后的差集仍是闭集.
1（ ）13. 设E为R的可测子集,mE?0,则E是一定含有一个区间.
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实变函数复习题2010版
（ ）14. 若A为可测集,且mA?0,则A一定是可数集或有限集. （ ）15. 若E为R1的无界可测子集,则E的测度必为??. （ ）16. 设A为可数集,B为有限集.则A?B为可数集. （ ）17. 若E是有界可测集,则mE???. （ ）18. 两个简单函数的代数和仍是简单函数. （ ）19. 两个简单函数的积仍是简单函数.
（ ）20. 设E为R1的可测子集,若mE?0,则mE?0. （ ）21. 实直线上至少含有一个内点的集的外测度一定大于零. （ ）22. mE?0?E是有限集或可数集.
（ ）23. 由直线上互不相交的开区间所成之集是可数集. （ ）24. 任何集合上的常量函数均可测.
（ ）25. 若开集G1是开集G2的真子集,则mG1?mG2.
（ ）26. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)?g(x)也是E上的可测函数. （ ）27. 任何集合上的连续函数一定是可测函数. （ ）28. 函数的几乎处处相等关系是等价关系.
（ ）29. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)g(x)也是E上的可测函数. （ ）30. f(x)在E上可测?|f(x)| 在E上可测.
（ ）31. 若f(x)是可测集E上的L可积函数,则f(x)是E上的有界函数. （ ）32. 零测集上的任何函数都可积,其积分值为零.
（ ）33. 设f(x)是可测集E上的L可积函数,g(x)?f(x),a.e.于E,则g(x)也是E上的L可积
函数,且?g(x)dx?E?Ef(x)dx.
（ ）34. 设f(x),g(x)是可测集E上的可积函数,则f(x)g(x)也是E上的L可积函数. 四、证明题:
1. 证明: ⑴????????A???B????(A?B)A; ⑵???????B??????????(A??B).
???2. 设f(x)是定义在E?Rn上的实函数.则
⑴E[f?a]?1??; Ef?a????n??n?1?第 7 页 共 11 页
实变函数复习题2010版
?⑵E[f?a]??E?fn?1???a?1?; ?n??⑶E[f???]??E[fn?1?n];
???⑷E[f?a]???E?a?f?a?n???E[f???].
?n?1?3. 证明:由直线上某些互不相交的开区间作为集A的元素,则A至多是可数集. 4. 证明:若A是有限集或可数集,B是可数集,则A?B是可数集.
?5. 证明闭包与开核之间的关系:⑴痧E?(E). E?E;⑵痧?6. 证明:每个闭集必是可数个开集的交集; 每个开集必是可数个闭集的和集.
7. 设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则?a?R,E??xf(x)?a?是一开集,而
F??xf(x)?a?总是一闭集.
8. 证明:f(x)为[a,b]上的连续函数??c?R,集合E??xf(x)?c?与E2??xf(x)?c?都是闭集.
9. 证明:集合E可测的充要条件是对?A?E,B?Ec有m?(A?B)?m?(A)?m?(B). 10. 设E?Rn.若???0,存在开集G,使得G?E,且m?(G?E)??,则E是可测集. 11. 设E?Rp,则存在G?型集G,使得G?E,且mG?m?E. 12. 证明:可数点集的外测度为零. 13. 若m?E?0,则E可测.
14. 设A,B为可测集,证明:m?A?B??m?A?B??mA?mB.
15. 设A??0,1?可测，mA?1，则对任意可测集B??0,1?，有mB?m(A?B). 16. 设mA?0，B为任一点集，则有m*(A?B)?m*B .
17. 若E1,E2为任意二点集，且其中之一的外侧度有限，则有m*(E1?E2)?m*E1?m*E2. 18. 若m*(E1?E2)?m*(E2?E1)?0,则有
m*(E1?E2)?m*(E1?E2)?m*E1?m*E2.
19. 设可测集E?R，则E上的单调函数f(x)是可测函数.
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