函数图像与函数方程（学生版）

函数图像与函数方程

【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

①y?f(x)――→y??f(x)； ②y?f(x)――→y?f(?x)； ③y?f(x)关于原点对称关于y轴对称关于x轴对称

――→

y??f(?x)；

关于y＝x对称

④y?ax(a?0且a?1) (3)翻折变换

――→

y?logax(a?0且a?1).

①y?f(x)――――――――――→y?|f(x)|. 将x轴下方图像翻折上去②y?f(x)――――――――――――→y?f(|x|). 关于y轴对称的图像 (4)伸缩变换

保留y轴右边图像，并作其

保留x轴上方图像

①y?f(x) ②y?f(x)2.函数的零点 (1)函数零点的定义

y?f(ax).

y?af(x).

对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点． (2)几个等价关系

方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

1

f(a)?f(b)?0，那么，函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，这个c也就是方程f(x)?0的根．

【例题解析】

考点一 函数图象变换

【例1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数f?x??2的图像经过怎样的变换得到

x的。

（1）y?2x?1 （2）y?2x+1 （3）y?2

x（4）y?2-1 （5）y??2x （6）y??2?x

x

【变式训练1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数f?x??log2x的图像经过怎样的变换得到的。

（1）y?log2(x?1) （2）y?log2x?1 （3）y?log2|x|

（4）y?|log2x?1| （5）y??log2x （6）y??log2(?x)

【变式训练2】函数y?f(x)的曲线如图所示，那么方程y?f(2?x)的曲线是（ ）

2

A． B．

C． D． 【变式训练3】函数y?

x?2的图象大致是 （ ） x?1

【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数y?f(x)的图像如图所示，则

y??f(2?x)的图像为( )

3

考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理

【例2】下列各种说法中正确的个数有（ ） ①函数y?f(x)满足f(a)?f(b)?0,则函数y?f(x)在区间(a,b)内只有一个零点; ②函数y?f(x)满足f(a)?f(b)?0,则函数y?f(x)在区间[a,b]内有零点; ③函数y?f(x)满足f(a)?f(b)?0,则函数y?f(x)在区间(a,b)内没有零点;

④函数y?f(x)在[a,b]上连续且单调,并满足f(a)?f(b)?0,则函数y?f(x)在区间

(a,b)内只有一个零点;

⑤函数f(x)?x?2x?3的零点是(3,0)与(?1,0). A．0个

B．1个

C．2个

2

D．3个

【例3】若a?b?c,则函数f?x???x?a??x?b???x?b??x?c???x?c??x?a?的两个零点

分别位于区间（ ）

A．?a,b?和?b,c? B．???,a?和?a,b? C．?b,c?和?c,??? D．???,a?和?c,???

【例4】函数f(x)?ax?1?2a在区间(?1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________

【变式训练5】函数f(x)?3x?log2(?x)的零点所在区间是（ ） A. ???5??5?,?2? B. ??2,?1? C. ?1,2? D. ?2,?

?2??2? 4