11-2 期权定价模型

第二讲：期权定价模型

一、复制原理 1、基本思想：

①构造股票与借款组合——使得无论股价如何变动，投资组合损益与期权相同 ②期权价值——投资组合的成本 使得无论股价如何变动，投资组合损益与期权相同 （股票，借款组合） 2、基本公式：每份期权价格=借款买若干股票投资支出=股票投资支出-借款额

期权价值=投资组合成本 上行股价=现行股价×上行乘数 SU?S0?u 计算到期日可能的股票价格 下行股价=现行股价×下行乘数 Sd?S0?d 计算到期日期权价值 股价上行时期权到期日价值=MAX（上行价格-执行价格，0） SU?S0?uCu?Max(0,Su?X) 股价下行时期权到期日价值=MAX（下行价格-执行价格，0） 3、计算步骤 计算套期保值比率 H?期权价值变化?Cu?Cd?Cu?Cd 股价变化Su?SdS0?(u?d)Cd?Max(0,Sd?X) 购买股票支出=套期保值比率×股票现价 计算投资组合成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额 =H×S0 借款数额=（到期日下行股价×套期保值比率-股票下行时期权到期日价值）÷（1+r）

二、风险中性原理 1、含义：

投资者对待风险的态度是中性的→风险中性投资者不需要用额外收益补偿额外风险→所有证券的预期收益率都应当是无风险利率 2、基本思路：期权价值=（上行概率×上行时的到期日价值+下行概率×下行时的到期日价值）/（1+无风险利率）

计算到期日期权价值的期望值→用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值 3、计算步骤：

（1）确定可能的到期日股票价格、期权到期日价值 （2）计算上行概率、下行概率 ①计算原理

?期望报酬率=（上行概率×上行时收益率）+（下行概率×下行时收益率） 假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率

?期望报酬率=（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比） ②计算方法

A.解期望报酬率方程 下行概率=1-上行概率 B.公式法：p=

1?r?d

u?d（3）计算期权价值：期权价值=（上行概率×上行时的到期日价值+下行概率×下行时的到期日价值）/（1+r）

（r为无风险利率，与期权期限、划分的时间间隔一致）

三、二叉树期权定价模型 1、单期二叉树模型 （1）假设 无交易成本 ①市场有效 允许卖空所得款项 允许以无风险利率借入 （2）公式 ②投资者：价格接受者 ③股价：两种可能值中的一个 期权价值?上行概率?上行时期权到期日价值下行时期权到期日价值＋下行概率?

（1?无风险利率）（1?无风险利率）

CuCd1?r?du?1?r C?（）??（）? 0u?d1?ru-d1?r【说明】

①公式含义：期权价值等于上下行期权到期日价值以对应上下行概率加权平均

②期权价值：指现在（0时点）的价值，而到期日价值是未来价值，需按无风险利率折算为现在的价值

③上下行概率：根据“无风险利率=上行报酬率×上行概率+下行报酬率×下行概率=上行时变动百分比×上行概率+下行时变动百分比×下行概率” 即 r=p（u-1）+（1-p）(d-1) 解得：p?2、两期二叉树模型

（1）将有效期划分为2期

（2）构造股价和到期日价值的二叉树

1?r?du?1?r 下行概率=1-p=

u?du-d

1 ?1 ?（3）利用公式 ? r ? d ） ? C u ? （ u ? r ） ? C d （r为无风险利率，与期权期限、划分的时间间隔一致） C（0 u?d1?ru-d1?r（运用两次，从后往前计算各节点期权价值，在运用时注意下标是相邻期限的替换）

3、多期二叉树模型

（1）确定上行和下行乘数 u=1+上升百分比=

d=1-下降百分比=1/u

=标的资产连续复利收益率的标准差

其中：t—划分的期权间隔期限，以年表示；

（2）把到期时间划分为多期

（3）构造股价、期权到期日价值二叉树

（4）根据二叉树模型或风险中性原理计算各节点期权的价值；（计算顺序由后向前，逐级推进） （5）确定期权的现值

四、布莱克——斯科尔斯公式（B—S）公式

无交易成本 ①市场有效 允许卖空所得款项 无风险利率已知，在寿命期内保持不变；允许以无风险利率借入资金； 1、假设

欧式看涨期权：只能在到期日执行 ②期权 寿命期内不派发股利 ③股价：连续发生，随机游走

2、模型

C0?S0?N(d1)?X?e-rc?t?N(d2)ln(S0?X)?[rc?(?2?2)]?td1??t d2?d1??tC0?S0?N(d1)?PV(X)?N(d2) d1?ln(S0?PV(X))?t?2?t

d2?d1??t（1）参数说明：

其中：

C0—看涨期权的现行价格 S0—标的资产的现行价格 X—看涨期权的执行价格 PV（X）—看涨期权执行价格的现值 N（d）—标准正态分布随机变量值小于d的概率 rc—连续复利的短期无风险年利率 e—约等于2.7183 ?—连续复利计算的标的资产年收益率的标准差

t—以年计算的期权有效期（期权到期日前剩余时间，还有多少时间期权到期） （2）公式记忆方法

期权价值=标的资产现行市价[N(d1)] -执行价格[N(d2)] （由于执行价格是未来才执行，因此需折现） ①按年复利计算：

A.C0 = S0?N(d1)?PV(X)?N(d2)—按年复利计算

B.

d1?ln(S0/PV(X))?t?2 ?t d2?d1??tS—大S ln—沙发 PV（X）——未来 /—由于现在和未来有区别

?t——一对恋人

由于大S没有结婚，需要想人生大事 大S坐在沙发上看未来，由于现在和未来有界限，因此用 “/”隔开

他很惆怅的想到了情侣，由于心烦，只想到了情侣中的一半

d2比d1少了一对情侣

②按连续复利折现

D1:大S坐在沙发上看未来，现在和未来有区别（用/隔开），他看到了第t年的无风险利率和半个方差 D2：比D1少一对情侣 3、参数估计 （1）PV（X）=

执行价格-rc?tX?e——年复利 —连续复利 t（1?无风险利率）（2）t——期权距到期的剩余时间，期权到期前的剩余年限 剩余年限/365（360）

选择标准 固定收益证券—国库券 与期权到期时间相同 与期权到期时间最接近 （3）无风险利率rc 无违约风险固定收益证券的市场利率 利率—市场利率 含义：按市场价格计算的到期收益率 连续复利计算 计算 F?P?erct Fln()Prc?t有效年利率 手工计算：年复利 报价利率 （4）收益率标准差（?）

??1n(Rt?R)2?n-1t?1

其中：Rt指收益率的连续复利值①连续复利收益率

?Pt?Dt??连续复利的股票收益率：Rt?ln??P? ?t?i?其中：Rt指股票在t时期的收益率；Pt是t期的价格；Pt?1是t-1期的价格；Dt是t期的股利。②年复利收益率 Rt?Pt?Pt?i?Dt

Pt?14、特殊情形下期权估价

（1）看跌期权： 看涨期权价格-看跌期权价格=标的资产价格-执行价格现值 C-P=S-PV（X） （2）派发股利期权股价

①原理：股利只有股东享有，持有人不能享有，需从股价中扣除期权到期前所派发的全部股利的现值 把到期日前预计发放的未来股利视为已经发放，将这些股利的现值从现行股票价格中扣除 ②计算：

（δ为股利发放率）

CO?SO?ed1????t?N(d1)?X?e?rc?t?N(d

2ln(SO/X)?(rc????/2)t?t

d2?d1??t（3）美式期权估价

①价值：至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大 ②计算方法

A.不派发股利：B——S公式 B.派发股利：

a.二叉树模型 b.更复杂、考虑提前执行的期权定价模型

c.B—S公式：原则不能使用，但通常情况误差不大，仍具有参考价值