(完整版)东北三省三校2016届高三第一次高考模拟考试数学(理)试卷

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学

2016年高三第一次联合模拟考试

理科数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．若集合A?[2,3]，B?{x|x2?5x?6}，则AIB?

A．{2,3} B．? C．2 2．若复数z满足zi = 1 + i，则z的共轭复数是

A．-1 - i B．1 + i C．-1 + i 3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是

1A． B．100

100C．10 D．1

4．已知向量a，b满足a?b?(1,?3)，a?b?(3,7)，a?b?

A．-12 C．12

B．-20 D．20

D．[2,3] D．1 - i

?2x?2,x?05．若函数f(x)??x，则f(f(1))的值为

?2?4,x?0B．10 C．-2 D．2

116．设a,b?R，若p:a?b，q:??0，则p是q的

baA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

?7．若点P(cos?,sin?)在直线y??2x上，则cos(2??)的值等于

24433A．? B． C．? D．

55558．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，

1

A．-10

且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

333C12C9C64A．A4 3A33334B．C12C9C63

333C12C9C634 C．4A4333D．C12C93C64

9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表

x 165 160 175 155 43 170 60 y 58 52 62 ??0.92x?a?，则a?? 根据上表可得回归直线方程为yA．-96.8 B．96.8 C．-104.4 D．104.4

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

717A． B．

3217?310C．13 D．

2x2y211．双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为

abF1(?c,0)，F2(c,0)，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|?4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|?|QN|，则双曲线C的离心率为

B．2 A．3 C．5 D．6

12．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象为一条连续不断的曲线，f(1?x)?f(1?x)，

且当0 < x < 1时，f(x)的导函数f?(x)满足：f?(x)?f(x)，则f(x)在[2015,2016]f(1)?a，上的最大值为 A．a

B．0

C．-a

D．2016

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

?x?y?1?0?13．若实数x，y满足?x?y?0，则z?x?2y的最大值是__________。

?x?0?14．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC的内切球半径为__________。

15．已知圆(x?1)2?y2?4与抛物线y2?mx(m?0)的准线交于A、B两点，且|AB|?23，则m的值为__________。

uuuruuuruuur?16．已知ΔABC满足A?，(AB?AC)?BC?0，点M在ΔABC外，且MB = 2MC = 2，则

3MA的取值范围是__________。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

31已知数列{an}满足a1?，且an?1?3an?1，bn?an?。

22（1）求证：数列{bn}是等比数列；

2

（2）若不等式

bn?1?m对?n?N*恒成立，求实数m的取值范围。 bn?1?1 18．（本小题满分12分）

在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下。根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯管是优等品，寿命小于300天的灯管是次品，其余的灯管是正品。

（1）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；

（2）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望。 19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2。 （1）求证：BD⊥平面ACFE； （2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度。 20．（本小题满分12分）

x2y232)在C上。 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且点(2,ab22（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l经过点P(1,0)，且与椭圆C有两个交点A、B，是否存在直线l0：x = x0（其

d|PA|中x0 > 2），使得A、B到l0的距离dA、dB满足A?恒成立？若存在，求x0的值；若不

dB|PB|存在，请说明理由。 21．（本小题满分12分）

3

已知函数f(x)?ex?ax2，曲线y?f(x)在x = 1处的切线方程为y?bx?1。 （1）求a，b的值；

（2）求函数f(x)在[0,1]上的最大值；

（3）证明：当x > 0时，ex?(1?e)x?xlnx?1?0

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m。 （1）证明：AM2?BM2?2(r2?m2)；

AMBM（2）若r = 3m，求的值。 ?CMDM 23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

?x?2cos?在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是?（φ为

y?2?2sin??参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求直线l和圆C的极坐标方程；

（2）射线OM：θ = α（其中0?a?线ON：?????2）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射

|OP||OQ|?的最大值。 |OM||ON|?2与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

已知函数f(x)?m?|x?3|，不等式f(x)?2的解集为(2,4)。 （1）求实数m的值；

（2）若关于x的不等式|x?a|?f(x)恒成立，求实数a的取值范围。

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