椭圆性质总结及习题

椭 圆

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程；会用定义法、待定系数法求椭圆标准方程。 难点：椭圆标准方程的推导与化简；用椭圆的定义求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a??F1F2?的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|

PFd?e，0＜e＜1的常数

（e?1为抛物线；e?1为双曲线） ?。

2 标准方程：

（1）焦点在x轴上，中心在原点：

xa22?yb22； ?1（a＞b＞0）

a?b22焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中c?（2）焦点在y轴上，中心在原点：

ya22（一个Rt?）

?xb22； ?1（a＞b＞0）

焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中c?a?b22

a?b22注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c?并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

3．参数方程 ：椭圆

??x?acos?y?bsin?xa22?yb22?1(a?b?0)的参数方程

? (?为参数)

224.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：x?y?1（a＞b＞0）有以下性质：

22ab坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a，|y|≤b；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；

③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；

（a半长轴长，b半短轴长）； ④ 准线方程：x??a2c；或y??a2c

⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；

|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r上=a-ey0;PF平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

camax?a?c,PFmin?a?c

（焦距与长轴长之比）??0,1?；e越大越______，e?0是_____。

2⑦ 焦准距p?二、焦点三角形

bc；准线间距?2ac2

结论一：若F1、F2是椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且

?F1PF2??，当点P位于___________时?最大，cos?=______________.

|PF1||PF2|的最大值为______________. S?FPF?btan122?2

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。 三．中点弦问题

AB是椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则直线的斜率

为 。 四．弦长问题.

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得的弦长 或 .

(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其

转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。

五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

已知椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.

六．过椭圆上点切线问题

x22若

P0(x0,y0)在椭圆a?yb22?1x0x上，则过

P0的椭圆的切线方程是a2?y0yb2?1.

习 题

1、 求椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。 2、已知椭圆的焦点为F1(?1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆的方程为__________________。 3、 椭圆

x225?y29?1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON的长是

___________________。

4、 如果方程kx2?y2?2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是

______________。 5、 过椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，

?若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为__________。

6、 设F1,F2是椭圆

xa22?yb22以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭?1(a?b?0)的两个焦点，

圆的一个焦点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率为____________________。

x27、点P是椭圆25?y216?1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径

为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.

C:xa228、（2009年上海卷理）已知

F1、

F2?yb22?1是椭圆

（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1?PF2.若?PF1F2的面积为9，则b=____________.

x29、（2009北京文）椭圆9|PF2|??y22?1的焦点为

F1,F2，点P在椭圆上，若

|PF1|?4，则

；x2?F1PF2的大小为 .

10、已知椭圆

16?y29?1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一

个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为_________。

11、设点P（x，y）在椭圆

x216?y29（1）试求点P到直线x?y?5?0的距离d的最?1，

大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值。

C:xa22?yb22?1(a＞b＞0)312、已知椭圆

的离心率为2，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的

????????直线与C相交于A、B两点．若AF?3FB，则k?______________。

（A）1 （B）

2 （C）3 （D）2

x213、（2007四川理）设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求

?y2?1的左、右焦点.

·

PF2PF1的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

14、已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点A（?23,0)是其左顶点，点C在椭圆上，且AC?CO?0，|AC|?|CO|． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若平行于CO的直线l和椭圆交于M,N两个不同点，求?CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

x2215、 已知椭圆a?yb22?1(a?b?0)6的离心率为3，长轴长为23，直线l:y?kx?m

交椭圆于不同的两点A，B．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

????????（Ⅱ）若m?1，且OA?OB?0，求k的值（O点为坐标原点）；

3（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为2，求?AOB面积的最大值． 16、在直角坐标系xOy中，点M到F1

(?3,0)、F2

(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹C

与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：y?kx?b与轨迹C交于不同的两点P和

Q．