Sobolev空间的建立

Sobolev空间

一、定义： (一)弱导数的定义：

设u?L1loc(?)，对于给定的重指标?，称为u的?阶弱导数，如果存在函数

?成立 v?L1（?）loc(?)，使得对于???C0??vdx?(?1)??|?|?uD??dx.

并记v?D?u.

(二)Sobolev空间的定义：

对p?1,m是非负整数，定义Sobolev空间

Wm,p(?)?Lp(?)?u|D?u?Lp(?),|?|?m

??? ?u|u?Lp(?),D?u?Lp(?),|?|?m.

在Wm,p(?)中引入范数

1??p?p(|Du|dx)?(Du??????|?|?m??|?|?m?maxD?u,p????,??|?|?mpp,???u),1?p??1pm,p,?

下面证明Wm,p(?)按范数

um,p,?1??p?p(|Du|dx)?(Du??????|?|?m??|?|?m?maxD?u,p????,??|?|?mpp,?),1?p??1p

是赋范空间. (i)非负性：

当1?p??时，任意的u?Wm,p(?)，则u1pm,p?(??||?m|D?u|??pdx)?0，

1p且um,p?0?(??||?m|D?u|??pdx)?0?D?u?0对任意|?|?m均成立?u?0；

?maxD?u|?|?m当p??时，任意的u?Wm,p(?)，则um,p??0，

1

且um,p?0?maxD?u?0?D?u?0对任意|?|?m均成立?u?0；

|?|?m(ii)齐次性：

当1?p??时，任意u?Wm,p(?)，??K，有

?u?(??||?m|D?(?u)|??pdx)??(?1p?||?m|D?u|??pdx)??u；

1p当p??时，任意u?Wm,p(?)，??K，有

?u?maxD?(?u)??maxD?u??u；

|?|?m|?|?m(iii)三角不等式性：

当1?p??时，任意u?Wm,p(?)，v?Wm,p(?)，有

u?v?(??(??||?m|D???(u?v)|dx)?(?pp1p?||?m(|D??p?u|?|Dv|dx)

p?p1p?||?m|D?u|??dx)?(?1p?||?m|D?v|??dx)?u?v；

1p当p??时，任意u?Wm,p(?)，v?Wm,p(?)，有

u?v?maxD?(u?v)?maxD?u?D?v?maxD?u?maxD?v?u?v.

|?|?m|?|?m|?|?m|?|?m所以，Sobolev空间Wm,p(?)是一个赋范空间. 二、Sobolev空间的主要性质：

（一）完备性：Wm,p(?)是Banach空间. 证明 只要证明Wm,p(?)是完备的. 任取Wm,p(?)中的Cauchy序列?fj?，则fk?fj而

m,p?0(k,j??).

fk?fjm,p?(?D(fk?f)?|?|?mpjLp)

1p1pp ?(?D?fk?D?fj)L p)|?|?m? D?fk?D?fj

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Lp?0(k,j??).

即D?fj(|?|?m)是Lp(?)中的Cauch列，由Lp(?)的完备性知，存在

??g??Lp(?)(|?|?m)，使得D?fj?g?,j??.

11在弱收敛的意义下，D?fj?g?，即对任意??Lp(?)(??1)，有

pqLp??这是因为

?D?fj?dx??g??dx(j??).

??特别对任意??C0(?)，有

?D?fj?dx??g??dx(j??).

?|?D?fj?dx??g??dx|

?? ??|D?fj?g?|?|?|dx

? ?D?fj?g?令??0得

Lp??Lq?0(应用Holder不等式）

??其中??C0(?).

?fj?dx??g?dx??f?dx.

??0??在利用弱导数的定义得，对于任意??C0(?),j??时有

??D?fj?dx?(?1)??fj?D??dx

??? ?(?1)|?|?f?D??dx??D?f??dx.

即当j??时，D?fj在Lp(?)内弱收敛于D?f，记成

弱收敛D?fj?????D?f(Lp(?))

由极限的唯一性，得D?f?g??Lp(?) (|?|?m) 且

D?fj?D?f(Lp(?)) (j??).

这就说明，若?fj?是Wm,p(?)中的Cauchy序列，则必存在f?Wm,p(?)，使得

fj?f(Wm,p(?)) (j??).

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即，Wm,p(?)是完备的. 从而Wm,p(?)是Banach空间.

（二）可分性：当1?p??时，Wm,p(?)是可分的.

证明 只要证明当1?p??时，(Lp(?))Q是可分的，也就是说(Lp(?))Q中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k，作

1???k??x|x??,dist(x,??)?,|x|?k?.

k??~?设P表示所有有理数多项式全体，Pk???kf|f?P，P??Pk，

k?1??~则P在Lp(?)中稠密. 事实上，对f?Lp(?)，任意的??0，由C0(?)在Lp(?)中

稠密知，存在g?C0(?)，使得

f?gL(?)p??2.

另外容易看出，C0(?)??C0(?k).

k?1?故g属于某个C0(?m)，利用weierstrass定理知，Pm在C0(?m)中稠密，也就是说，存在h?Pm，使得|g?h|?因为?m有界，故有

||g?h||Lp(?)?(?|g?h|)

?p1p?2|?m|?1p，?x??m.

?(?|g?h|)??mp1p?2

故

||f?h||Lp(?)??.

~其中，h?P???k?1Pk.

Q~~~~~~这就说明P在Lp(?)中稠密，且P是一个可列集，因而?1P?P?P???P是

(Lp(?))Q可列的稠密集，即(Lp(?))Q(1?p??)是可分的，从而Wm,p(?)也是可

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