青岛理工大学概率论练习册答案

fY(y)??????1??4.8y(2?x)dx,0?y?1,f(x,y)dx???y?其它.?0,

2?2.4y(3?4y?y),0?y?1,??其它.?0,6. 假设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

??1,若U≤?1,??1,若U≤1, X?? Y??

?1,若U??1,?1,若U?1.试求：(1) X和Y的联合概率分布；(2)P{X?Y≤1}.

解 (1) 见本章第三节三(4).

(2)P{X?Y≤1}?1?P{X?Y?1}?1?P{X?1,Y?1}?1?习题3-2

1. 设(X, Y)的分布律为

Y

X

求: (1) 在条件分布律;

(2)

解 (1) 由

1 2 3 13?. 441 0.1 0.3 0 2 0 0 0.2 3 0.1 0.1 0 4 0 0.2 0 X=2下Y的条件

P{X≥2Y≤2}.

于

P{X?2}?0.3?0?0.1?0.2?0.6,所以在条件X=2下Y的条件分布律为

P{X?2,Y?1}0.31P{Y?1|X?2}???,

P{X?2}0.62P{X?2,Y?2}0P{Y?2|X?2}???0,

P{X?2}0.6P{X?2,Y?3}0.11P{Y?3|X?2}???,

P{X?2}0.66P{X?2,Y?4}0.21P{Y?4|X?2}???,

P{X?2}0.63或写成

Y?k 1 2 3 4 P{Y?k|X?2} 1 20 1 61 3(2) 注意到 P{Y≤2}?P{Y?1}?P{Y?2}?0.1?0.3?0?0?0.2?0.6. 而

P{X≥2,Y≤2}?P{X?2,Y?1}?P{X?2,Y?2}

?P{X?3,Y?1}?P{X?3,Y?2} ?0.3?0?0?0.2?0.5.

因此

P{X≥2Y≤2}?2. 设平面区域D由曲线y?P{X≥2,Y≤2}P{Y≤2}?0.55?. 0.661x区域D上服从均匀分布, 求(X, Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值.

e1eS?dx?lnx1?2. 解 由题设知D的面积为D?1x?1?,(x,y)?D,因此, (X,Y)的密度为 f(x,y)??2

??0，其它.22及直线y?0,x?1,x?e2所围成, 二维随机变量(X, Y)在

由此可得关于X的边缘概率密度 fX(x)?2

?????f(x,y)dy.

12显然, 当x≤1或x≥e时,fX(x)?0; 当1?x?e时,fX(x)??x012dy?12x. 故

fX(2)?1. 43. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为

?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)??0,其它.?求：(1) (X, Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；(2)P{Y≤解 (1) 当0?x?1时,fX(x)?11X≤}. 22?????f(x,y)dy??dy?2x;

02x当x≤0时或x≥1时, fX(x)?0.

?2x,故 fX(x)???0,当0

?????f(x,y)dx??ydx?1?2y2;

当y≤0时或y≥2时, fY(y)?0.

?y?1?,0?y?2,故 fY(y)??2

?其它.?0,(2) 当z≤0时,FZ(z)?0; 当z≥2时,FZ(z)?1;

当0

2x??dx?1?dy??zdx?022x-z1?dy

?z?z24.

?z?1?,0?z?2,故 fZ(z)?Fz?(z)??2

?其它.?0,113PX≤，Y≤11?3?22?16?. (3) P?Y≤X≤??1122?4?PX≤424. 设G是由直线y=x, y=3,x=1所围成的三角形区域, 二维随机变量(X,Y)在G上服从二维均匀分布.求:

(1) (X, Y)的联合概率密度；(2) P{Y?X≤1}；(3) 关于X的边缘概率密度. 解 (1)由于三角形区域G的面积等于2, 所以(X,Y)的概率密度为

????1??,(x,y)?G, f(x,y)??2??0,(x,y)?G.(2)记区域D?{(x,y)|y?x≤1}与G的交集为G0,则

11113P{Y?X≤1}???dxdy?SG0?(2?)?.

22224G0其中SG0为G0的面积.

(3) X的边缘概率密度fX(x)??????3xf(x,y)dy. 所以,

当x?[1,3]时, fX(x)??11dy?(3?x). 22当x?1或x?3时, fX(x)?0.

?1?(1?x),x?[1,3],因此 fX(x)??2

?其它.?0,习题3-3

1. 设X与Y相互独立, 且分布律分别为下表:

1求二维随机变Y ? X 0 -1 2量(X,Y)的分

111布律. P P 236解 由于

X与Y相互独立, 所以有 0 2 5 6 1 41 42 51 101P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}?P{Y?yj},i??1,?,0;j?0,2,5,6.

2因此可得二维随机变量(X,Y)的联合分布律

Y X ?1 ?0 2 1 81 81 21 121 120 1 241 245 6 1 51 202 151 301 151 602. 设(X, Y)的分布律如下表:

X Y 1 2 3

问?,?为何值时X与Y相互独立? 解 首先, 由分布律求得边缘分布律 Y X 1 2 3 pi. 由于边缘分布满足

1 1 2 1 61 91 181 3? ? 2 p.j 1 61 91 181 33i?j?11 3α β 1 21α+ 91β+ 181 1+α+β 3?pi?12?1,?p?j?1, 又X, Y相互独立的等价条件为

pij= pi. p.j (i=1,2; j=1,2,3). ?2?????1,??3故可得方程组 ?

?1?1?(??1).??93921解得??,??.

9921经检验, 当??,??时, 对于所有的i=1,2; j=1,2,3均有pij= pi. p.j成立. 因此当

9921??,??时, X与Y相互独立..

993. 设随机变量X与Y的概率密度为

?be?(x?y),0?x?1,y?0, f(x,y)??其它.?0,(1) 试确定常数b.