青岛理工大学概率论练习册答案

当x≤0时, F(x)?0;

当0?x≤1时, F(x)??xdx?0x12x1x2;

当1?x≤2时, F(x)?当x>2时, F(x)?1.

?10xdx??(2?x)dx?2x?x22?1;

?0,?1?x2,?2所以 F(x)??2x?2x??1,?2?1,?7. 设随机变量X的概率密度为

x≤0,0?x≤1,

1?x≤2,x?2.?1?(x?1),0?x?2, f(x)??4?0,其它,?对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.

解 根据概率密度与分布函数的关系式

P{a?X≤b}?F(b)?F(a)??f(x)dx,

ab可得

48所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为

535175C32()2()?C33()3?.

88825628. 设X~U(0,5), 求关于x的方程4x?4Xx?2?0有实根的概率.

1P{X?1}??21(x?1)dx?5.

解 随机变量X的概率密度为

?1?,0≤x?5,f(x)??5

?其它,?0,若方程有实根, 则 16X?32≥0, 于是X≥2. 故方程有实根的概率为

P{X≥2}=1?P{X2?2}

222?1?P{?2?X?2} 21?1??dx

0559. 设随机变量X~N(3,2).

10}, P{|X|?2}, P{X?3}； (1) 计算P{2?X≤5}, P{?4?X≤(2) 确定c使得P{X?c}?P{X≤c};

≥0.9, 问d至多为多少？ (3) 设d满足P{X?d}a?3X?3b?3b?3a?3?≤}?Φ()?Φ()公式, 得到 解 (1) 由P{a

P{2

P{|X|?2}=P{X?2}+P{X??2}

=1?Φ(2?32)+Φ(?2?323?3)=0.6977,

)?1?Φ(0)=0.5 . 2(2) 若P{X?c}?P{X≤c},得1?P{X≤c}?P{x≤c},所以

P{X≤c}?0.5

由Φ(0)=0推得

P{X?3}=1P{X≤3}?1?Φ(c?3?0,于是c=3. 2d?32d?32)≥0.9, 也就是 )≥0.9?Φ(1.282),

(3) P{X?d}≥0.9 即1?Φ(Φ(?因分布函数是一个不减函数, 故

?(d?3)≥1.282, 2解得 d≤3?2?(?1.282)?0.436.

10. 设随机变量X~N(2,?2), 若P{0?X?4}?0.3, 求P{X?0}.

~N(0,1). 由条件P{0?X?4}?0.3可知 ?0?2X?24?2220.3?P{0?X?4}?P{??}??()??(?),

?????22于是2?()?1?0.3, 从而?()?0.65.

??X?20?222?}??(?)?1??()?0.35. 所以 P{X?0}?P{????习题2-5

1. 选择题

(1) 设X的分布函数为F(x), 则Y?3X?1的分布函数G?y?为( ). (A) F(y?). (B) F(3y?1).

?解 因为X~N2??,所以Z???X??13131F(y)?. 33解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设X~N?0?1?,令Y??X?2, 则Y~( ).

(A)N(?2,?1). (B)N(0,1). (C)N(?2,1). (D)N(2,1). 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).

2. 设X~N(1,2),Z?2X?3, 求Z所服从的分布及概率密度.

(C) 3F(y)?1. (D)

2解 若随机变量X~N(?,?), 则X的线性函数Y?aX?b也服从正态分布, 即

1Y?aX?b~N(a??b,(a?)2). 这里??1,??2, 所以Z~N(5,8).

概率密度为

f(z)?14?e?(x?5)162,???x???.

3. 已知随机变量X的分布律为

X P -1 0.37 0 0.05 1 0.2 3 0.13 7 0.25 (1) 求Y＝2－X的分布律； (2) 求Y＝3＋X2分布律. 解 (1)

2－X P (2)

3＋X2 P 3 0.05 4 0.57 12 0.13 52 0.25 -5 0.25 -1 0.13 1 0.2 2 0.05 3 0.37 4. 已知随机变量X的概率密度为 ?1，　1?x?4，?　 fX(x)＝?2xln2?其它，?0，　且Y＝2－X, 试求Y的概率密度.

解 先求Y的分布函数FY(y):

FY(y)=P{Y≤y}?P{2?X≤y}?P{X≥2?y}

?1?P{X?2?y}=1-于是可得Y的概率密度为

?2?y??fX(x)dx.

1?,1?2?y?4,? fY(y)??fX(2?y)(2?y)?=?2(2?y)ln2

?0,其它.?1?,?2?y?1,?即 fY(y)??2(2?y)ln2

?0,其它. ?5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量Y?X的概率密度.

解 由题意可知随机变量X的概率密度为

2?1?,?2?x?2,fX(x)??4

??0,其它.因为对于0

FY(y)?P{Y≤y}?P{X2≤y}?P{?y≤X≤y}?FX(y)?FX(?y).

于是随机变量Y?X的概率密度函数为

2fY(y)?fX(y)12y?fX(?y)12y?14y,0?y?4.

?1,0?y?4,?即 f(y)??4y

?0,其它.?总习题二

1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.

解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知X~B(5,0.2).

3(1) 恰好有3件次品的概率是P{X=3}=C50.230.82.

3(2) 至多有3件次品的概率是

?Ck?0k50.2k0.85?k.

2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻

(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？

解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则X~B(5,0.1),

kP{X=k}=C50.1k0.95?k,k=0,1,?,5.

2(1) 所求的概率是P{X=2}=C50.120.93?0.0729;

(2) 所求的概率是P{X≥1}=1?(1?0.1)5?0.40951; (3) 所求的概率是 P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954;

(4) 所求的概率是P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.00856. 3. 设随机变量X的概率密度为

?k??x?e,f(x)????0，?且已知P{X?1}?x≥0,x?0,

12, 求常数k, θ.

解 由概率密度的性质可知由已知条件

???0k?edx?1得到k=1.

??x. ln2?224. 某产品的某一质量指标X~N(160,?), 若要求P{120≤X≤200}≥0.8, 问允许?最大是多少?

1???1e?dx??x1, 得??1}?P{解 由P{120≤X≤200 =?(得到?(120?160??≤X?160?≤?200?160?}

40)?(1??(40?))?2?(40)?1≥0.8,

40?)≥0.9, 查表得

40?≥1.29, 由此可得允许?最大值为31.20.

5. 设随机变量X的概率密度为

φ(x) = Ae-|x|, -∞

试求: (1) 常数A; (2) P{0

解 (1) 由于

??????(x)dx??Aedx?1,即2A?e?xdx?1故2A = 1, 得到A=.

??0???|x|??12所以 φ(x) =

12e-|x|.