青岛理工大学概率论练习册答案

C221{X=3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X=3}=3=;

C510C323{X=4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X=4}=3?;

C5102C43{X=5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X=5}=3?.

C55X的分布律是

X P 1. 设X的分布律为 X P -1 0 1 0.15 0.20 0.65 3 4 5 133 10105习题2-3 求分布函数F(x), 并计算概率P{X<0}, P{X<2}, P{-2≤X<1}. ?0,?0.15,?解 (1) F(x)=??0.35,??1,x??1,?1≤x?0,

0≤x?1,x≥1. (2) P{X<0}=P{X=-1}=0.15;

(3) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1; (4) P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35. 2. 设随机变量X的分布函数为

F(x) = A+Barctanx -∞

试求: (1) 常数A与B; (2) X落在(-1, 1]内的概率.

解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知

??A?B(?)?0?11?2?A?,B?. ??2??A?B()?1??211于是 F(x)??arctanx,???x???.

2?1}?F(1)?F(?1) (2) P{?1?X≤1111 ?(?arctan1)?(?arctan(?1))

2?2?11?11?1 ?????(?)?.

2?42?423. 设随机变量X的分布函数为

?0, 　x?0,??xF(x)=?, 　　0≤x?1,

2???1,　　x≥1,求P{X≤-1}, P{0.3

解 P{X≤?1}?F(?1)?0,

P{0.3

P{0

; 在事件

84{?1?X?1}出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X的分布函数F(x)?P{X≤x}; (2) 求X取负值的概率p.

解 (1) 由条件可知, 当x??1时, F(x)?0;

当x??1时, F(?1)?; 8当x?1时, F(1)=P{X≤1}=P(S)=1.

5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; P{X??1}?1,P{X?1}?11所以 P{?1?X?1}?F(1)?F(?1)?P{X?1}?1?5?. 848易见, 在X的值属于(?1,1)的条件下, 事件{?1?X?x}的条件概率为

P{?1?X≤x|?1?X?1}?k[x?(?1)],

?11取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=

1. 2x?1. 2因此 P{?1?X≤x|?1?X?1}?于是, 对于?1?x?1, 有

P{?1?X≤x}?P{?1?X≤x,?1?X?1}

?P{?1?X?1}P{?1?X≤x|?1?X?1}

82对于x≥1, 有F(x)?1. 从而

?5?x?1?5x?516.

?0,??5x?7F(x)??,?16??1,(2) X取负值的概率

x??1,?1?x?1, x≥1.716.

p?P{X?0}?F(0)?P{X?0}?F(0)?[F(0)?F(0?)]?F(0?)?习题2-4

1. 选择题

?2x, x?[0,c],(1) 设f(x)?? 如果c=( ), 则f(x)是某一随机变量的概率密度函

0, x?[0,c].?数. (A)

113. (B) . (C) 1. (D) . 322解 由概率密度函数的性质

?????f(x)dx?1可得?2xdx?1, 于是c?1, 故本题应选

0c(C ).

(2) 设X~N(0,1),又常数c满足P{X≥c}?P{X?c}, 则c等于( ).

(A) 1. (B) 0. (C)

1. (D) -1. 2解 因为P{X≥c}?P{X?c}, 所以1?P{X?c}?P{X?c},即

2P{X?c}?1, 从而P{X?c}?0.5,即?(c)?0.5, 得c=0. 因此本题应选(B).

(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).

?1?cosx,x?[0,?],?,x?2,(A) f(x)?? (B) f(x)??2

0,其它.???0,其它.(x??)?1???e?x,x≥0,e2?,x≥0,(C) f(x)??2?? (D) f(x)??

x?0.?0,?x?0.?0,22解 由概率密度函数的性质

?????f(x)dx?1可知本题应选(D).

(4) 设随机变量X~N(?,42), Y~N(?,52), P?P{X≤??4}, 1P2?P?Y≥??5}, 则( ).

(A) 对任意的实数?,P?P2. (B) 对任意的实数?,P?P2. 11?P2. (D) 对任意的实数?,P(C) 只对实数?的个别值, 有P?P2. 11解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数?, 有

P??(?1)?1??(1)?P2. 1因此本题应选(A).

(5) 设随机变量X的概率密度为f?x?, 且f(x)?f(?x), 又F(x)为分布函数, 则对任意实数a, 有( ).

f(x)dx. 02(C) F(?a)?F(a). (D) F??a??2F(a)?1.

(A) F(?a)?1?f(x)dx. (B) F(?a)?∫0a1?∫a解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).

2(6) 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12),Y服从正态分布N(?2,?2),且

P{X??1?1}?P{Y??2?1}, 则下式中成立的是( ).

(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2. 解 对μ1＝μ2时, 答案是(A).

(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数?(0???1), 数u?满足

P{X?u?}??, 若P{X?x}??, 则x等于( ).

(A) u? . (B) u21??2 . (C) u1-?. (D) u1??.

2解 答案是(C).

2. 设连续型随机变量X服从参数为?的指数分布, 要使P{k?X?2k}?怎样选择数k?

解 因为随机变量X服从参数为?的指数分布, 其分布函数为

1成立, 应当4?1?e??x,x?0, F(x)?? x≤0.?0,由题意可知

14?P{k?X?2k}?F(2k)?F(k)?(1?e?2k?)?(1?e??k)?e??k?e?2?k.

ln2.

于是 k?3. 设随机变量X有概率密度

??4x3,0?x?1, f(x)??其它,?0,要使P{X≥a}?P{X?a}(其中a>0)成立, 应当怎样选择数a?

}}?0., 5于是解 由条件变形,得到1?P{X?a}?P{X?,a可知P{X?a?a04x3dx?0, .5因此a?142. 4. 设连续型随机变量X的分布函数为

?0,x?0,F(x)???x2,0≤x≤1, ??1,x?1,求: (1) X的概率密度; (2)P{0.3?X?0.7}.

解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系F?(x)?f(x), 可得 f(x)???2x,0?x?1,?0,其它.

(2) P{0.3?X?0.7}?F(0.7)?F(0.3)?0.72?0.32?0.4.

5. 设随机变量X的概率密度为

f(x)＝ ??2x,　　0≤x≤1,?0,　　其它,

求P{X≤

12}与P{1

4＜X≤2}.

1解 P{X≤112}??202xdx?x22?1;

04P{114?X≤2}??11512xdx?x21?. 44166. 设连续型随机变量X具有概率密度函数

?x,0?x≤1,f(x)???A?x,1?x≤2,

??0,其它.求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).

解 (1) 由概率密度的性质可得

1??121121220xdx??1(A?x)dx?2x?[Ax?02x]?A?1,

1于是 A?2；

(2) 由公式F(x)??x??f(x)dx可得