青岛理工大学概率论练习册答案

???1?θ的极大似然估计值为 ?n?lnxi?1n,

i???1?而θ的极大似然估计量为 ?n?lnXi?1n.

i4. 设总体X服从参数为?的指数分布, 即X的概率密度为

??e??x,x?0,f(x,?)??

0,x≤0,?其中??0为未知参数, X1, X2, ?, Xn为来自总体X的样本, 试求未知参数?的矩估计量与

极大似然估计量.

1??1. 设x1, x2,?, x n是相应于样本X1, 解 因为E(X)= =X, 所以?的矩估计量为??XX 2,? ,X n的一组观测值, 则似然函数

L??n?ei?1nn??xi??en???xi?1ni,

取对数 lnL?nln??(?x)?.

ii?1dlnLnn??1,?的极大似然估计量为令???xi?0, 得?的极大似然估计值为?xd??i?1???1X5. 设总体X的概率密度为

.

??,?f(x,?)??1??,?0,?0?x?1， 1≤x≤2，其它,其中?（0

x1,x2,,xn中小于1的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大似然估计量.

12解 (1) X?E(X)?x?dx?x(1??)dx?01??32??, 所以?矩?32?X.

(2) 设样本x1,x2,似然函数为

xn按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:

x(1) ≤ x(2) ≤?≤ x(N) <1≤ x(N+1)≤ x(N+2)≤?≤x(n) .

??N(1??)n?N,x(1)≤x(2)≤≤x(N)?1≤x(N?1)≤x(N?2)≤≤xn, L(?)??其它.?0,考虑似然函数非零部分, 得到

ln L(θ ) = N lnθ + (n ? N) ln(1?θ ),

dlnL(?)Nn?N??N. 令???0, 解得θ的极大似然估计值为?d??1??n习题7-2

1. 选择题: 设总体X的均值?与方差?都存在但未知, 而X1,X2,则无论总体X服从什么分布, ( )是?和?的无偏估计量.

22,Xn为X的样本,

(A) (C)

1X?ni?1ni和

1(X?ni?1ni?X). (B)

n22X?n?1i?1n1ni和和

(X?n?1i?11ni?X)2.

?Xn?1i?11ni和

?(Xn?1i?11i??). (D)

1?Xni?11i?(Xni?1ni??)2.

解 选(D).

2. 若X1,X2,X3为来自总体X的无偏估计量, 问k等于多少?

N(?,?2)的样本, 且Y?11X1?X2?kX3为?345111X2?kX3)?????k???, 解之, k=.

124343. 设总体X的均值为0, 方差?2存在但未知, 又X1,X2为来自总体X的样本, 试证：

解 要求E(X1?1312(X1?X2)2为?2的无偏估计.

11222证 因为E[(X1?X2)]?E[(X1?2X1X2?X2)]

22?[E(X1)?2E(X1X2)?E(X2)]???2,

22122所以(X1?X2)为?的无偏估计.

2习题7-3

1. 选择题

(1) 总体未知参数?的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.

(C) 未知参数?有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数?的真值. 解 选(D).

(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).

(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C）

习题7-4

1. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):

1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200．

设灯泡寿命服从正态分布N(μ, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.

解 计算得到x?1141.11, σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得z?/2?z0.025?1.96.

所求置信区间为

1222?2