青岛理工大学概率论练习册答案

解 E(X)????????????1??xf(x,y)dxdy??2?2xsin(x?y)dxdy?.

2004????E(X2)???????x2f(x,y)dxdy

?1??2?222???xsin(x?y)dxdy???2.20082于是有

D(X)?E(X)?[E(X)]?利用对称性,有 E(Y)?又 E(XY)?22?216??2?2. ??4,D(Y)??216?2?2.

???????????1?2xy(f,x)yd?xd?y?2xysin(x?y)dxdy

200?1???2xdx?2ysin(x?y)dy020

??1??2xdx?2y[sinxcosy?cosxsiny]dy020? ??1.

2(Y,?)EX(Y?)E(XE)?Y(?)所以协方差 CovX2??2?.

16115. 设随机变量X与Y独立, 同服从正态分布N(0,), 求

2(1) E(X?Y);D(X?Y)；

(2) E(max{X,Y});E(min{X,Y}).

解 (1) 记??X?Y.由于X~N(0,),Y~N(0,),所以 由此?~N(0,1). 所以

1122E(?)?E(X)?E(Y)?0, D(?)?D(X)?D(Y)?1.

21?x22E(|X?Y|)?E(|?|)??|x|?edx???2?2??????0xe?x22dx

??2??e?x22???0?2, E(|?|2)?E(?2)?D(?)?[E(?)]2?1?02?1.

?2?222??1?. 故而D(|X?Y|)?D(|?|)?E(|?|)?[E(|?|)]?1????????(2) 注意到

2max(X,Y)?所以

(X?Y)?|X?Y|X?Y?|X?Y|, min(X,Y)?.

221121, E[max(X,Y)]?{E(X)?E(Y)?E[|X?Y|]}??22?2?1121. E[min(X,Y)]?{E(X)?E(Y)?E[|X?Y|]}????22?2?6. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?x?y?8,0≤x≤2,0≤y≤2,f(x,y)??

?其它.?0,求: E(X), E(Y), Cov(X,Y), ρXY, D(X+Y).

解 注意到f(x,y)只在区域G:0≤x≤2,0≤y≤2上不为零, 所以

E(X)??? E(X2)???????????xf(x,y)dxdy???xGx?ydxdy 8212127, dxx(x?y)dy?x(x?1)dx????000846????? x2f(x,y)dxdy

212123522dxx(x?y)dy?(x?x)dx?, 8?0?04?035721122因而 D(X)?E(X)?[E(X)]??2?.

3636?又

E(XY)???由对称性知

???????xyf(x,y)dxdy

21212244. dxxy(x?y)dy?(x?x)dx????00084337511E(Y)?E(X)?,E(Y2)?E(X2)?, D(Y)?D(X)?.

3663这样，

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?4491???, 33636Cov(X,Y)1?XY???,

11D(X)D(Y)5D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?.

917. 设A, B为随机事件, 且P(A)?11,P(B|A)?,P(A|B)?, 令 432?1，A发生,?1，B发生, Y?? X??0，A不发生,0，B不发生.??求: (1) 二维随机变量(X, Y)的概率分布; (2) X与Y的相关系数?XY.

P(A)1P(AB)?得P(B)?2P(AB)?. 在此基础上可以求得

6P(B) 解 由

13?P(B|A)?P(AB)得P(AB)?11111P(A)???, 进而由?P(A|B) 3341221,?1}?PAB(?), (1) P{X?1Y12P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?161212111P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)???,

4126?1?1,

P{X?0,Y?0} A?P(AB?)?1P(AB?)?1P[A(?)PB(?)P(B)]1112 ?1?[??]?.

46123故(X, Y)的概率分布为

Y 0 1 X 210 312111 612(2) 由(1)易得关于X和Y的边缘分布律 X 0 1 31P{X=k} 44

Y 0 1 51P{Y=k} 66因此

11E(X)?,E(X2)?,

44113D(X)?E(X2)?[E(X)]2???,

4161611115E(Y)?,E(Y2)?,D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2???.

6663636又由(X, Y)的分布律可得

21111E(XY)?0?0??0?1??1?0??1?1??.

312121212故

?XY

11??E(XY)?E(X)E(Y)124615. ???15D(X)D(Y)3516361习题6-1

1. 若总体XN(2,9), 从总体X中抽出样本X1, X2, 问3X1-2X2服从什么分布? 解 3X1-2X2～N(2, 117).

2. 设X1, X2, ?, Xn是取自参数为p的两点分布的总体X的样本, 问X1, X2, ?, Xn的联合分布是什么?

解 因为总体X的分布律为

P{X=k}= pk(1-p)1-k, k=0,1,?,

所以样本X1, X2, ?, Xn的联合分布为

P{X1?x1,…,Xn=xn}?px1?(1?p)1?x1?px2(1?p)1?x2?…?pxn(1?p)1?xn?pi?1?(1?p)i?1.习题6-2

1. 选择题

(1) 下面关于统计量的说法不正确的是( ).

(A) 统计量与总体同分布. (B) 统计量是随机变量. (C) 统计量是样本的函数. (D) 统计量不含未知参数.

解 选(A).

(2) 已知X1,X2,?,Xn是来自总体X?nXin??Xin

N(?,?2)的样本, 则下列关系中正确的是( ).

2(A) E(X)?n?. (B) D(X)??.

22(C) E(S)??. (D) E(B2)??2.

解 选(C).

(3) 设随机变量X与Y都服从标准正态分布, 则( ).

(A) X+Y服从正态分布. (B) X2+Y2服从?分布.

2Y解因为随机变量X与Y都服从标准正态分布, 但X与Y不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).

2. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本, 总体X的均值μ已知,方差σ2未知. 在样本函数

(C) X和Y都服从?分布. (D)

222X22服从F分布.

?Xi?1n?Xini??,

,

i?1?Xi?1ni??, nμ(X12+X22+?+Xn2)中, 哪些不是统计量?

?S?X解

i?1ni??不是统计量.

?3. 设总体X服从正态分布N(?1,?2), 总体Y服从正态分布N(?2,?2),X1,X2,

22n?n?

??(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?.E???n1?n2?2????n11n22 解 因为 E[(Xi?X)]??, E[(Yj?Y)2]??2 ??n1?1i?1n2?1j?11212,Xn和

1Y1,Y2,,Yn分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 求

2习题6-3

1．填空题