数学 2012-2013学年第二学期期初高三教学质量调研 数学试卷

记平面AEF与平面ABC所成的角为?，有cos??n?m|n|?|m|??66?6??66.

由题意可知?为锐角，所以cos??66. ………………10分

23. 解：（1）S5＝3，S7＝1. ………………2分

（2）由题设ai的定义可知，对于每个正整数k，有

a4k?3?a2k?1??a4k?2. ①

a4k?1?a4k??a2k?ak. ② ……………4分

则 S4k??[(ai?1k4i?3?a4i?2)?(a4i?1?a4i)]??(0?2ai)?2Sk，③

i?1kS4k?2?S4k?(a4k?1?a4k?2)?S4k. ④ ……………6分

下面证明对于所有的n≥1，Sn≥0.

对于k，用数学归纳法予以证明.

当i＝1，2，3，4，即k=0时，S1＝1，S2＝0， S3＝1， S4＝2. 假设对于所有的i≤4k，Si≥0，则由①、②、③、④知，

S4k+4＝2Sk+1≥0， S4k+2＝S4k≥0，

S4k+2＋S4k+4

S4k+3＝S4k+2＋a4k+3＝S4k+2＋a4k+4＝S4k+2＋(S4k+4－S4k+3)，S4k+3＝≥0.

2

接下来证明：S4k+1≥0.

若k是奇数，则S4k＝2Sk≥2.

因为k是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知Sk也是一个奇数. 于是

S4k≥2. 因此，S4k+1＝S4k＋a4k+1≥1.

若k是偶数，则a4k+1＝a2k+1＝ak+1. 所以S4k+1＝S4k＋a4k+1＝2Sk＋ak+1＝Sk＋Sk＋1≥0.

综上，对于所有的n≥1，Sn≥0. ………………10分