当前位置:首页 > (名师导学)2020版高考数学总复习-第41讲基本(均值)不等式练习理(含解析)新人教A版
第41讲 基本(均值)不等式
夯实基础 【p88】
【学习目标】
1.了解基本(均值)不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【基础检测】
x
1.函数y=2(x>0)取最大值时x的值为( )
1+2x
A.
22
B.C.2D.22 24
x11212【解析】因为y=≤=,当且仅当2x=,即x=时,等号成立. 2=1+2x1224x2
2x+x【答案】A
1112
2.已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )
abab
A.4 B.22C.8 D.16
11a+b12
【解析】由a+b=+=,有ab=1,则+≥2ababab【答案】B
ab
3.设0<x<1,a>0,b>0,a,b为常数,则+的最小值是( )
x1-x
2
2
12
·=22. ab
A.4ab B.2(a2+b2) C.(a+b)2D.(a-b)2
2222
ab?aba(1-x)bx?22
【解析】+=?++, ?[x+(1-x)]=a+b+
x1-x?x1-x?x1-x
2
2
a(1-x)bxa
又+≥2ab,当且仅当x=时等号成立,
x1-xa+bab2
所以+的最小值为(a+b).
x1-x【答案】C
4.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储
1
2
2
22
费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
600600?900+x?【解析】由题意,一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4??xx?x?≥8
900
×x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值x
是30.
【答案】30 【知识要点】
a+b1.基本不等式ab≤ 2(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b. 2.几个重要的不等式
(1)a+b≥__2ab__(a,b∈R); (2)+≥__2__(a,b同号);
2
2
baab?a+b?(a,b∈R);
(3)ab≤???2??a+b?≤a+b(a,b∈R). (4)??2?2?
3.算术平均数与几何平均数
a+b设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:
2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,
(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小). q(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
4
2
2
2
22
典例剖析 【p88】
考点1 利用基本(均值)不等式求最值
2x+4y
例1(1)已知xy=1,且0 2x-2y 2 2 2 9 A.4 B.C.22D.42 2 2x+4y(x-2y)+4xy,可知x>2,所以x-2y>0.==x-2x-2yx-2y 2 2 2 【解析】xy=1且0 2y+≥4,当且仅当x=3+1,y=时等号成立. x-2y2 【答案】A b2 (2)已知a>0,b>0,且a+=1,则a1+b的最大值为________. 2 2 2 【解析】因为a>0,所以a1+b=2 2?1b?a?+?≤?22? 2 2?2?1b??2?a+?+????22?? 2 2 ?1b?.又a+?+?= ?22? 2 2 22 ?a2+b?+1=3,所以a1+b2≤2?1×3?=32,当且仅当a2=1+b,即a=3,b=2时??22?42?2222??22?? 322 等号成立,即(a1+b)max=. 4 32 【答案】 4 考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题 2a例2已知a2-a<2,且a∈N*,求函数f(x)=x+的值域. x22* 【解析】由不等式a-a<2解得-1 2 当x>0时,f(x)=x+≥2xx·=22,当且仅当x=,即x=2时不等式取“=”. xx2 22 当x<0时,因为-x>0,所以f(x)=x+ x??2??=-?(-x)+?-??≤- x? ? ?? 2 ?2?(-x)·?-?=-22, ?x? 2 当且仅当-x=-,即x=-2时不等式取“=”. x综上,函数f(x)的值域为(-∞,-22]∪[22,+∞). 例3设f(x)=|lg(x-1)|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是________. 【解析】先画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象,如图, 3 ∵0<a<b,且f(a)=f(b), ∴12, ∴-lg(a-1)=lg(b-1), ∴ 11=b-1,∴a=1+, a-1b-1 11 (b-1)·=4,因为b-1≠, b-1b-1 11 ∴a+b=b++1=b-1++2≥2b-1b-1∴a+b>4, ∴a+b的取值范围是(4,+∞). 【答案】(4,+∞) ax+bx+c 【点评】可利用基本不等式求形如y=的值域,但在求解的过程中要注意运 dx+e用基本不等式时,等号是否成立,若等号不成立,则可以利用函数的单调性求解. 2 考点3 基本(均值)不等式的实际应用 例4某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问: (1)每套丛书售价定为100元时,书商所获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 【解析】(1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套),所以每10 套丛书的供货价格为30+=32(元),故书商所获得的总利润为5×(100-32)=340(万元). 5 ?15-0.1x>0,? (2)每套丛书售价定为x元时,由?得0<x<150. ?x>0,? 设单套丛书的利润为P元, 10?100?则P=x-?30+=x--30, ?15-0.1x?150-x? 4
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