（名师导学）2020版高考数学总复习-第41讲基本（均值）不等式练习理（含解析）新人教A版

第41讲 基本(均值)不等式

夯实基础 【p88】

【学习目标】

1．了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【基础检测】

x

1．函数y＝2(x>0)取最大值时x的值为( )

1＋2x

A.

22

B.C.2D．22 24

x11212【解析】因为y＝≤＝，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立． 2＝1＋2x1224x2

2x＋x【答案】A

1112

2．已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )

abab

A．4 B．22C．8 D．16

11a＋b12

【解析】由a＋b＝＋＝，有ab＝1，则＋≥2ababab【答案】B

ab

3．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a，b为常数，则＋的最小值是( )

x1－x

2

2

12

·＝22. ab

A．4ab B．2(a2＋b2) C．(a＋b)2D．(a－b)2

2222

ab?aba（1－x）bx?22

【解析】＋＝?＋＋， ?[x＋(1－x)]＝a＋b＋

x1－x?x1－x?x1－x

2

2

a（1－x）bxa

又＋≥2ab，当且仅当x＝时等号成立，

x1－xa＋bab2

所以＋的最小值为(a＋b).

x1－x【答案】C

4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储

1

2

2

22

费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

600600?900＋x?【解析】由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4??xx?x?≥8

900

×x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值x

是30.

【答案】30 【知识要点】

a＋b1．基本不等式ab≤ 2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b． 2．几个重要的不等式

(1)a＋b≥__2ab__(a，b∈R)； (2)＋≥__2__(a，b同号)；

2

2

baab?a＋b?(a，b∈R)；

(3)ab≤???2??a＋b?≤a＋b(a，b∈R)． (4)??2?2?

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：

2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)． q(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

4

2

2

2

22

典例剖析 【p88】

考点1 利用基本(均值)不等式求最值

2x＋4y

例1(1)已知xy＝1，且0

2x－2y

2

2

2

9

A．4 B.C．22D．42

2

2x＋4y(x－2y)＋4xy，可知x>2，所以x－2y>0.＝＝x－2x－2yx－2y

2

2

2

【解析】xy＝1且0

2y＋≥4，当且仅当x＝3＋1，y＝时等号成立．

x－2y2

【答案】A

b2

(2)已知a>0，b>0，且a＋＝1，则a1＋b的最大值为________．

2

2

2

【解析】因为a>0，所以a1＋b＝2

2?1b?a?＋?≤?22?

2

2?2?1b??2?a＋?＋????22??

2

2

?1b?.又a＋?＋?＝

?22?

2

2

22

?a2＋b?＋1＝3，所以a1＋b2≤2?1×3?＝32，当且仅当a2＝1＋b，即a＝3，b＝2时??22?42?2222??22??

322

等号成立，即(a1＋b)max＝.

4

32

【答案】 4

考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题

2a例2已知a2－a<2，且a∈N*，求函数f(x)＝x＋的值域．

x22*

【解析】由不等式a－a<2解得－1

2

当x>0时，f(x)＝x＋≥2xx·＝22，当且仅当x＝，即x＝2时不等式取“＝”．

xx2

22

当x＜0时，因为－x>0，所以f(x)＝x＋

x??2??＝－?（－x）＋?－??≤－

x?

?

??

2

?2?（－x）·?－?＝－22，

?x?

2

当且仅当－x＝－，即x＝－2时不等式取“＝”．

x综上，函数f(x)的值域为(－∞，－22]∪[22，＋∞)．

例3设f(x)＝|lg(x－1)|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________． 【解析】先画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象，如图，

3

∵0＜a＜b，且f(a)＝f(b)， ∴12，

∴－lg(a－1)＝lg(b－1)， ∴

11＝b－1，∴a＝1＋， a－1b－1

11

（b－1）·＝4，因为b－1≠，

b－1b－1

11

∴a＋b＝b＋＋1＝b－1＋＋2≥2b－1b－1∴a＋b>4，

∴a＋b的取值范围是(4，＋∞)． 【答案】(4，＋∞)

ax＋bx＋c

【点评】可利用基本不等式求形如y＝的值域，但在求解的过程中要注意运

dx＋e用基本不等式时，等号是否成立，若等号不成立，则可以利用函数的单调性求解．

2

考点3 基本(均值)不等式的实际应用

例4某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：

(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

【解析】(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每10

套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．

5

?15－0.1x>0，?

(2)每套丛书售价定为x元时，由?得0＜x＜150.

?x>0，?

设单套丛书的利润为P元，

10?100?则P＝x－?30＋＝x－－30， ?15－0.1x?150－x?

4