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(名师导学)2020版高考数学总复习-第41讲基本(均值)不等式练习理(含解析)新人教A版

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  • 2025/7/10 17:52:30

第41讲 基本(均值)不等式

夯实基础 【p88】

【学习目标】

1.了解基本(均值)不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【基础检测】

x

1.函数y=2(x>0)取最大值时x的值为( )

1+2x

A.

22

B.C.2D.22 24

x11212【解析】因为y=≤=,当且仅当2x=,即x=时,等号成立. 2=1+2x1224x2

2x+x【答案】A

1112

2.已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )

abab

A.4 B.22C.8 D.16

11a+b12

【解析】由a+b=+=,有ab=1,则+≥2ababab【答案】B

ab

3.设0<x<1,a>0,b>0,a,b为常数,则+的最小值是( )

x1-x

2

2

12

·=22. ab

A.4ab B.2(a2+b2) C.(a+b)2D.(a-b)2

2222

ab?aba(1-x)bx?22

【解析】+=?++, ?[x+(1-x)]=a+b+

x1-x?x1-x?x1-x

2

2

a(1-x)bxa

又+≥2ab,当且仅当x=时等号成立,

x1-xa+bab2

所以+的最小值为(a+b).

x1-x【答案】C

4.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储

1

2

2

22

费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.

600600?900+x?【解析】由题意,一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4??xx?x?≥8

900

×x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值x

是30.

【答案】30 【知识要点】

a+b1.基本不等式ab≤ 2(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b. 2.几个重要的不等式

(1)a+b≥__2ab__(a,b∈R); (2)+≥__2__(a,b同号);

2

2

baab?a+b?(a,b∈R);

(3)ab≤???2??a+b?≤a+b(a,b∈R). (4)??2?2?

3.算术平均数与几何平均数

a+b设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:

2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,

(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小). q(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).

4

2

2

2

22

典例剖析 【p88】

考点1 利用基本(均值)不等式求最值

2x+4y

例1(1)已知xy=1,且0

2x-2y

2

2

2

9

A.4 B.C.22D.42

2

2x+4y(x-2y)+4xy,可知x>2,所以x-2y>0.==x-2x-2yx-2y

2

2

2

【解析】xy=1且0

2y+≥4,当且仅当x=3+1,y=时等号成立.

x-2y2

【答案】A

b2

(2)已知a>0,b>0,且a+=1,则a1+b的最大值为________.

2

2

2

【解析】因为a>0,所以a1+b=2

2?1b?a?+?≤?22?

2

2?2?1b??2?a+?+????22??

2

2

?1b?.又a+?+?=

?22?

2

2

22

?a2+b?+1=3,所以a1+b2≤2?1×3?=32,当且仅当a2=1+b,即a=3,b=2时??22?42?2222??22??

322

等号成立,即(a1+b)max=.

4

32

【答案】 4

考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题

2a例2已知a2-a<2,且a∈N*,求函数f(x)=x+的值域.

x22*

【解析】由不等式a-a<2解得-1

2

当x>0时,f(x)=x+≥2xx·=22,当且仅当x=,即x=2时不等式取“=”.

xx2

22

当x<0时,因为-x>0,所以f(x)=x+

x??2??=-?(-x)+?-??≤-

x?

?

??

2

?2?(-x)·?-?=-22,

?x?

2

当且仅当-x=-,即x=-2时不等式取“=”.

x综上,函数f(x)的值域为(-∞,-22]∪[22,+∞).

例3设f(x)=|lg(x-1)|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是________. 【解析】先画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象,如图,

3

∵0<a<b,且f(a)=f(b), ∴12,

∴-lg(a-1)=lg(b-1), ∴

11=b-1,∴a=1+, a-1b-1

11

(b-1)·=4,因为b-1≠,

b-1b-1

11

∴a+b=b++1=b-1++2≥2b-1b-1∴a+b>4,

∴a+b的取值范围是(4,+∞). 【答案】(4,+∞)

ax+bx+c

【点评】可利用基本不等式求形如y=的值域,但在求解的过程中要注意运

dx+e用基本不等式时,等号是否成立,若等号不成立,则可以利用函数的单调性求解.

2

考点3 基本(均值)不等式的实际应用

例4某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问:

(1)每套丛书售价定为100元时,书商所获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?

【解析】(1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套),所以每10

套丛书的供货价格为30+=32(元),故书商所获得的总利润为5×(100-32)=340(万元).

5

?15-0.1x>0,?

(2)每套丛书售价定为x元时,由?得0<x<150.

?x>0,?

设单套丛书的利润为P元,

10?100?则P=x-?30+=x--30, ?15-0.1x?150-x?

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第41讲 基本(均值)不等式 夯实基础 【p88】 【学习目标】 1.了解基本(均值)不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【基础检测】 x1.函数y=2(x>0)取最大值时x的值为( ) 1+2x A.22B.C.2D.22 24x11212【解析】因为y=≤=,当且仅当2x=,即x=时,等号成立. 2=1+2x1224x22x+x【答案】A 11122.已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( ) ababA.4 B.22C.8 D.16 11a+b12【解析】

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