北京科技大学有限元总结

①三角形单元中任意一点P（x,y）与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置由下面的坐标来确定 ，其中，A1，A2，A3分别为三角形P23,P13,P12的面积。L1,L2,L3称为面积坐标。 ②特点：

⒈T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li。

⒉面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。

①三角形单元中任意一点P（x,y）与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置由下面的坐标来确定 ，其中，A1，A2，A3分别为三角形P23,P13,P12的面积。L1,L2,L3称为面积坐标。 ②特点：

⒈T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li。

⒉面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。

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⒊三个节点的面积坐标分别为1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1），形心的面积坐标为（1/3，1/3，1/3）。

⒋单元边界方程为Li=0 (i=1,2,3)。

⒌在平行于23边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L1 ，而且L1就等于此直线至23边的距离与节点1至23边的距离之比值。 ⒍面积坐标与直角坐标互为线性关系。

③面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，因此称为局部坐标或自然坐标。 4.1 与平面问题相比，轴对称问题有何特点？

轴对称问题是空间问题的一种特殊情况。结构的几何形状、约束条件及荷载分布都对称于某个轴，其位移、应变、应力等也对称于此轴而与环向坐标无关。 5.1 何谓等参单元？等参单元具有哪些优越性？

①等参数单元（简称等参元）就是对坐标变换和单元内的参变量函数（通常是位移函数）采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。

②优点：可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。 5.2 何谓零能模式？

在有些情况下，对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。

6.1 对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变换？ ①在局部坐标系内可以更方便地建立单元刚度矩阵。

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②在整体分析中，对所有单元都应采用同一坐标系即整体坐标系，否则围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在整体分析前，还要进行坐标转换。 6.2 有哪几种梁弯曲理论？

梁弯曲理论包括工程梁理论和剪切梁理论。 7.1 在薄板弯曲理论中做了哪些假设？

第一，板厚方向的挤压变形可忽略不记，即εz=0。

第二，在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面（挠度曲面）的法线。（Kirchhoff直线假设）。

第三，薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移(u)z=(v)z =0。 7.2 薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同？ 第一，板厚方向的挤压变形可忽略不记，即εz=0。

第二，板的中面法线变形后仍保持为直线，但因横向变形的缘故，该直线不再垂直于变形后的中面。 第三，薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移(u)z=(v)z =0。 两者之间的区别在第二点。

8.1 薄壳理论有哪些假设？与薄板理论的假设有何异同？ 第一，壳厚方向的挤压变形可忽略不记。

第二，中面法线变形后仍保持为直线且仍为中面的法线。

第三，壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。 第四，折板假设。 第五，非耦合假设。

与薄板理论假设的异同参考7.1。 9.1 减少问题自由度的措施有哪些?

利用结构的对称性、采用子结构技术等，可以使求解方程组的自由度数大为降低。

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有限元知识点汇总

第一章

1、何为有限元法？其基本思想是什么？

》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。 》基本思想：化整为零，化零为整

2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；

》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。 3、单元、节点的概念？

》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。 》节点：网格间相互连接的点称为节点。 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？

》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。 》本课程讲授的：位移法

6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}

》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系} 》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程} 》弹性矩阵特点——{ }

7、何为平面应力问题和平面应变问题？

》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}

》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}

第二章

1 何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？

答：⑴所谓离散化，是用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合体。 ⑵目的：经过离散化，才能使结构变成有限个单元的组合体。

⑶通常把由单元，节点及相应节点载荷和节点约束构成的模型，称为有限元模型。

2 结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常

如何设置节点？

答：⑴直接影响计算结果的精确程度。

⑵原则：在保证精度的前提下，力求采用较少的单元。

⑶通常集中载荷的作用点，分布载荷强度的突破点，分布载荷与自由边界的分界点，支承点都应

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