2019届高三数学理科二轮复习 专题十 空间几何体 含解析

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变式训练

【2－1】 (2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：设球O的半径为R，

∵A，B在球O的球面上且∠AOB＝90°，

12112

∴S△AOB＝2R，∴VO－ABC＝VC－AOB＝3S△AOB·h＝6Rh(其中h是C到平面AOB的距离)，

所以三棱锥O－ABC的体积最大，即h最大，又C在球面上，故1313

h最大值为OC＝R，∴VO－ABC的最大值为6R，即6R＝36，∴R＝6，故S球＝4πR2＝144π.故选C.

答案：C

【2－2】 (2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )

A．8＋22 B．11＋22

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C．14＋22 D．15

解析：(方法1)由三视图可知，该几何体是直四棱柱且底面为直角1

梯形，所以S表＝2×2×(1＋2)×1＋1×2×2＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.

(方法2)由三视图可知，该几何体是直四棱柱且底面是直角梯形，1

所以S表＝S侧＋S上底×2＝(1＋2＋1＋2)×2＋2×(1＋2)×1×3＝11＋22，故选B.

答案：B

(见学生用书P67)

例 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.

求：(1)该三棱柱侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．

考场错解：第(2)问：过M作MN⊥CC1于N，

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则由已知有MN＋NP＝3＋NP＝29，NP＝29－3， 此时N为CC1的中点，

NC＝2，PC＝NP2－NC2＝34－629.

专家把脉：依题意有MN＋NP的最小值为29，而错解中认为MN最小，则MN＋NP就最小，这是错误的．

对症下药：(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.

(2)如图所示，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°，使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．

设PC＝x，则P1C＝x， 在Rt△MAP1中，

由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，求得x＝2， NCP1C2

∴PC＝P1C＝2，MA＝PA＝5，

1

4

∴NC＝5.

专家会诊：棱柱、棱锥、球是几何体中的重要载体，学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外，还要灵活运用有关知

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识进行位置的判断与论证，进而达到计算的目的．在计算时要注意把某些平面图形分离出来运用平面几何的知识来进行计算，这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧．

(见学生用书P167)

一、选择题

1．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4

解析：由三视图可知该几何体的直观图是截去一半的圆柱，其表1

面积为S＝2π×2×2＋π×12＋2×2＝3π＋4.

答案：D

2．(2014·广西卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

81π

A.4 B．16π

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