2020版数学高考专题突破 (1)

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(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.

→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).

(1)证明 ∵AB

→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→∴BD

共线，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线.

(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b.

∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.

规律方法 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立. →＝λa＋b，AC→＝a＋μb，λ，μ∈R，【训练3】 (1)已知a，b是不共线的向量，AB则A，B，C三点共线的充要条件为( ) A.λ＋μ＝2 C.λμ＝－1

B.λ－μ＝1 D.λμ＝1

(2)(一题多解)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为( )

等式x2OAA.{0} C.{－1}

B.? D.{0，－1}

→∥AC→，设AB→＝mAC→(m≠0)，则λa＋b

解析 (1)因为A，B，C三点共线，所以AB??λ＝m，

＝m(a＋μb)，所以?所以λμ＝1.

??1＝mμ，

→＋xOB→＋BC→＝0成立，BC→必须与x2OA→＋xOB→共线，由于OA→－(2)法一 若要x2OA

→→→→→

OB＝BA与BC共线，所以OA和OB的系数必须互为相反数，则x2＝－x，解得x＝0→＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝

或x＝－1，而当x＝0时，BC－1.

→＝OC→－OB→，∴x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，即OC→＝－x2OA→－(x－

法二 ∵BC

→，∵A，B，C三点共线， 1)OB

→＋xOB→＋

∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2OA→＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1. BC

答案 (1)D (2)C

[思维升华]

1.向量线性运算的三要素

向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论

→＋OB→＋OC→＝0； (1)O为△ABC的重心的充要条件是OA

→＋DC→＝2EF→；

(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则AB

→，OB→不共线，满足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则

(3)对于平面上的任一点O，OAP，A，B共线?x＋y＝1. 注意向量共线与三点共线的区别. [易错防范]

1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

基础巩固题组 (建议用时：35分钟)

一、选择题

→＋BC→＋CA→；→＋MB→＋BO→＋OM→；→＋OB→＋BO→＋CO→；

1.已知下列各式：①AB②AB③OA→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( ) ④AB

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B

→＋CD→＋EF→＝( )

2.如图，在正六边形ABCDEF中，BA

A.0

→ B.BE

→ C.AD

→ D.CF

→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→.

解析 由题图知BA答案 D

3.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a与λa的方向相反 C.|－λa|≥|a|

B.a与λ2a的方向相同 D.|－λa|≥|λ|·a

解析 对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小. 答案 B

→→→4.已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( ) A.A，B，C C.B，C，D

B.A，B，D D.A，C，D

→＝AB→＋BC→＋CD→＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB→，→，→有公共点A，解析 因为AD又ABAD所以A，B，D三点共线. 答案 B

→＋FC→＝( ) 5.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→ B.1AD→ C.AD→ D.1BC→ A.BC

22

→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→＝EC→＋FB→＝1(AC→＋AB→)＝1·→＝AD→.

解析 如图，EB2AD

22

答案 C

→＝λAB→＋μAC→，

6.(2019·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心.若DO其中λ，μ∈R，λ

则μ＝( ) A.－2

1B.－2

C.－2

D.2

→＝DA→＋AO→＝CB→＋AO→＝AB→－AC→＋1AC→＝AB→－1AC→，∴λ＝1，μ＝－1，

解析 DO

222λ

因此μ＝－2. 答案 A

7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为( )

AC于不同的两点M，N，若AB

A.1

B.2

C.3

D.4