2020版数学高考专题突破 (1)

③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是( ) A.②③

B.①②

C.③④

D.②④

ababb

解析 (1)由|a|＋|b|＝0得|a|＝－|b|≠0，即a＝－|b|·|a|≠0，则a与b共线且方向相ab

反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使|a|＋|b|＝0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直. (2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，

②正确.∵AB

→|＝

∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB→|， |DC

→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→. AB

③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A

规律方法 对于向量的有关概念应注意以下几点：

(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.

(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图像的平移混为一谈.

aa

(4)非零向量a与|a|的关系：|a|是与a同方向的单位向量.

【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )

→＝BC→ A.AD→＝PF→ C.PE

(2)给出下列说法：

①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件； →与BC→共线，则A，B，C三点在同一条直线上； ②若AB

③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向； ④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线. 其中错误说法的序号是________.

→与BC→不平行，AC→与BD→不平行，所以

解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD

→＝BC→，AC→＝BD→均错误，PE→与PF→平行，但方向相反也不相等，只有EP→与PF→方AD

→＝PF→.

向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以EP(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④

考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算

多维探究

→＝BD→ B.AC→＝PF→ D.EP

【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中→＝( ) 点，则EB3→1→A.4AB－4AC 3→1→C.4AB＋4AC

1→3→

B.4AB－4AC 1→3→D.4AB＋4AC

→＝－1AD→，

解析 ∵E是AD的中点，∴EA

2→＝EA→＋AB→＝－1AD→＋AB→， ∴EB

2又知D是BC的中点， →＝1(AB→＋AC→)， ∴AD

2

→＝－1(AB→＋AC→)＋AB→＝3AB→－1AC→. 因此EB

444答案 A

角度2 利用向量线性运算求参数

【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段→→→

AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )

A.1

3B.4

2C.3

1D.2 →＝3MB→，AM→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＝________.

(2)在锐角△ABC中，CM

y解析 (1)∵E为线段AO的中点，

→＝1BA→＋1BO→＝1BA→＋1×1BD→＝1BA→＋1BD→＝λBA→＋μBD→， ∴BE

2222224113

∴λ＋μ＝2＋4＝4.

→＝CM→－CA→＝3CB→＋AC→＝3(AB→－A→→＝3AB→＋1AC→，

(2)由题设可得AMC)＋AC

444431x

则x＝4，y＝4.故y＝3. 答案 (1)B (2)3

规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.

【训练2】 (1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等→＝a，AC→＝b，则AD→＝( )

分点，AB

1

A.a－2b 1

C.a＋2b

1

B.2a－b 1

D.2a＋b

12→＝λAB→

(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝3BC.若DE1→

＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析 (1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点， →＝1AB→＝1a，

得CD∥AB且CD

22→＝AC→＋CD→＝b＋1a.

所以AD

2

→＝DB→＋BE→＝1AB→＋2BC→＝1AB→＋2(AC→－AB→)＝－1AB→＋2AC→， (2)DE

232363→＝λAB→＋λAC→，

∵DE1212∴λ1＝－6，λ2＝3， 1

因此λ1＋λ2＝2. 1

答案 (1)D (2)2

考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线.