数学与应用数学毕业论文

太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）

1?ff?g=lim1lim1f1?g1?fgff1=limg1ff11g(1?)f1f. g11(1?)ff1又因为 limff?lim1?1, gg1故上式等于1. ③要证limf?gf1?g1f?gh1成立,只需证lim??1,因为 hh1hf1?g1f?g～f1?g1,h(x)～h1(x), 所以结论得证. 性质（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim ?A?'?B?'=c(≠-1)”,“ ≠0”的使用. ?C?'?D?'注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.

2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.

3等价无穷小量的应用

等价无穷小量的应用在冯录祥老师的?关于等价无穷小量量代换的一个注记?、王斌

老师的?用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨?、华东师范大学数学系的?数学分析?、盛祥耀老师的?高等数学?、马振明老师和吕克噗老师的?微分习题类型分析?、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的?数学分析讲义?中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：

3.1求函数的极限 在求极限中经常用到的等价无穷小量有x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1?x)～ex-1, 1?cosx～

12, ax?1～xlna,( x→0). x25

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tan22x例1 求lim. x?01?cosx解 当x→0时,1?cosx～原式= limx?012,tan2x～2x. x24x122 2x= 8.. 例2 求limx?0tanx?sinx. x3解 原式= limsinx?1?cosx? x?0x3cosx1x?x21= lim32 (∵sinx～x,1?cosx～x2) x?0x?cosx21= . 2此题也可用洛必达法则做,但不能用性质②做. 所以,limx?0x?xtanx?sinxlim==0,不满足性质②的条件,否则得出错误结论0. x?0x3x33.2等价无穷小量在近似计算中的应用

利用等价无穷小，在做近似计算，有时可以起到意想不到的效果，如：

6例3 求65的近似值 64解 因为x?0时, n1?x?1?x. n所以 665?6461?1?2.005208. 646 故65的准确值，保留小数点后6位可得为2.005175 64相对误差为（2.005208?2.005175)/2.005175?0.000016这说明计算精度已经很高 6

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3.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 12x?1?x22例4 求极限lim x22x?0(cosx?e)sinx1?解 由于函数的分母中sin2x～x2（x?0）,因此只需将函数分子中的1?x2与分母中的cosx和e分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即： 1?x2?1?1214x?x?o(x4), 2812x?o(x2）, 2x2cosx?1?2ex?1?x2?o(x2). 所以 141412x?o(x4)x?o(x4)x?1?x21288??lim. ?lim?lim22x2x?0x?0x?03123o(x)44(cosx?e)sinx?x?o(x)1?x2?222x1?例5 由拉格朗日中值定理,对任意的x＞-1,存在??(0,1),使得ln(1?x)?ln(1?x)?ln(1?0)?x1.证明lim?(x)?. x?01??x2解 因 x2ln(1?x)?x??o(x2), 21?1??x?o(x), 1??x所以,根据题设所给条件有 x2o(x)x??o(x2)?1??x? 2x即 x2?x??o(x2), 22所以, 1o(x2)1lim?(x)?lim?2?. x?0x?02x2 7

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以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用. 3.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 在正项级数的审敛判别法中,用得比较多的是比较审敛法的极限形式,它也是无穷小的一个应用.比较审敛法的极限形式：设?un和?vn 都是正项级数, n?1n?1??un① 如果lim=l(0≤l<+∞) ,且级数?vn收敛,则级数?un收敛. n??vn?1n?1n????unun② 如果lim=l>0 或llim=+∞,且级数?vn发散,则级数?un发散. n??vn??vn?1n?1nn当①=1时,∑un,∑vn就是等价无穷小量.由比较审敛法的极限形式知,∑un与∑vn同敛散性,只要已知∑un,∑vn中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性. 1??例6 判定??sec()?1?的敛散性 n?n?1??11sec()?121111n2n解 lim?lim?(n??,?0,此时sec()?1?2). n??n??11nn2n2n2n2?11??又?2收敛,所以,??sec()?1?收敛. n?n?1?n?1n? 例7 研究?1的敛散性 n?1ln(1?n)?1nln(1?n)解 ∵lim= lim=1 n??ln(1?n)n??1n1而∑发散, n∴?1发散. n?1ln(1?n)?从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用.在很多题目中,我们需要综合运用罗比达法则、等价无穷小量的性质、泰勒级数等相关知识,才能达到简化运算的目的. 8