数学与应用数学毕业论文

太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）

1 引言

等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.

2等价无穷小量的概念及其重要性质

这部分在同济大学应用数学系主编的?高等数学?、华东师范大学数学系的?数学分

析?、马振明老师和吕克噗老师的?微分习题类型分析?、张云霞老师的?高等数学教学?以及Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods [J]. Journal of Computer Research and Development中做了详细的讲解,下面是我对这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我对其进行了证明.

2.1 等价无穷小量的概念

2.11 定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过

程中的无穷小量. 如函数x2, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x→0 时的无穷小量.对于数列只有一种情形, 即n→∞, 如数列{ 注意：

1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近于0 而又不等于0.

2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限.

1如函数 当x ?∞时的无穷小量,但当x?1时不是无穷小量.

x1} 为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列. n3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.

2.12 无穷小量的比较

1

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1) 若存在正数K和L,使得在某Uo(x0)上有K?同阶无穷小量.特别当limx?x0f(x)?L,则称f与g为当x?x0时的g(x)f(x)?c(c?0) 则称f(x)与g(x)是同阶无穷小. g(x)2) 若lim3) 若limf(x)=1, 则称f(x)与g(x)是等价无穷小量, 记为f(x)～g(x). g(x)f(x)= 0, 则称f(x)是g(x)高阶无穷小, 记作f(x)=o(g(x)). g(x)1注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x→0 时,xsin与x2 都是无穷小量, 但它

x们不能进行阶的比较.

2.2等价无穷小量的重要性质

设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小,

① 若α～α′,β～β′, 且lim ?'?'存在,则 ?????????lim=lim ?（lim?lim(.11）?lim.lim1.lim1?lim1） ???1?1??1?1??1?'② 若α～β,β～γ,则α～γ.

'性质①表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质②表明等价无穷小量的传递性. 2.3等价无穷小量性质的推广 ?1?α～α′,β～β′, 且lim?=c(≠-1),则α+β～α′+β′. 证明 因为 ??1?1????lim=lim?'??'?lim?'(?) 1?'1?'?'??'?1????'??'1? ?lim1?c?'1??'?lim1?c???'1?..?'?? 2

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?lim1?c?1 1?c所以 α+β～α′+β′. 而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limα′,β～β′,则有α+β～α′+β′ ?=c(≠-1)”这个条件,千篇一律认为“α～??2? 在同一变化过程中,f(x)～?(x),g(x) ～?(x),且lim(1??(x))lim(1?f(x))证明 因为 1g(x)11?(x)存在,则 =lim(1??(x))?(x). lim(1?f(x))1g(x)?exp(limln(1?f(x))) g(x)ln(1?f(x))?(x)1ln(1??(x)) ln(1??(x))g(x)?(x)ln(1??(x))) ?(x)1?(x) =exp(lim=exp(lim=lim(1??(x))故结论得证. . ?3?若α～α′,β～β′, 且limC?'?D?'′存在,则当C?'?D?'≠0且 limC??D?存在,有 lim证明 因为 A?A??1?1A??B??B?B??? , A?'?B?'A?'??'?'A?'?1B??B?'A?'?B?'A?'?B?'A??B?A??B?A?'?B?'=lim′. C?'?D?'C??D?又α～α′,β～β′,于是, limA?A?'A?'A??lim??1,lim(?1)?lim(?1)?0, B?B?'B?'B?从而 3

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A??B?=1, A?'?B?'即 A??B?～A?'?B?' 同理可证 C??D?～C?'?D?'. 故命题得证. ?4? 设在自变量的某一变化过程中, f(x)、g(x)、h(x)及f1(x)、g1(x)、h1(x)都是无穷小量. ①若f(x)～f1(x)、g(x)～g1(x)、且limf1(x)f(x)存在且lim1??1,则有 g1(x)g1(x)(f?g)～(f1?g1). ②若f(x)～f1(x)、g(x)～g1(x)、且limf1(x)f(x)存在且lim1?1,则有 g1(x)g1(x)(f?g)～(f1?g1). ③若f(x)～f1(x)、g(x)～g1(x)、h(x)～h1(x)且limf1(x)f(x)存在且lim1??1,则有 g1(x)g1(x)lim证明 ①因为 f?gf1?g1. ?hh11?f1f?g=limlim1f1?g1?fgff1=limg1ff11g(1?)f1f. g11(1?)ff1又因为 limff?lim1??1, gg1故上式等于1. ②因为 4