第五讲 三角变换与解三角形

第五讲 三角变换与解三角形

【命题角度聚焦 】

(1)以1～2个小题考查三角函数的基本公式和正、余弦定理，包括化简、求值、求三角形面积、判断三角形的形状等．

(2)将解三角形或三角函数的图象与性质与三角恒等变换、平面向量知识揉合在一起，有时也与不等式、函数最值结合，考查应用所学知识分析解决问题能力和应用意识，难度为中等或容易题． 【核心知识整合 】 1．和差角公式

(1)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ； (2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； tanα±tanβ

(3)tan(α±β)＝. 1?tanαtanβ2．倍角公式 (1)sin2α＝2sinαcosα；

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tanα

(3)tan2α＝. 1－tan2α3．半角公式 α(1)sin2＝±α(3)tan2＝±4．正弦定理

abc＝＝sinAsinBsinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 5．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 6．面积公式

111

S△ABC＝2bcsinA＝2acsinB＝2absinC. 7．解三角形

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论； (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解； (4)已知三边，利用余弦定理求解．

8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.

1

1－cosαα

； (2)cos22＝±1＋cosα

2；

1－cosα1－cosααsinα

； (4)tan2＝＝sinα. 1＋cosα1＋cosα

【命题热点突破】

考点1：三角函数的化简与求值

例1、设函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m(x∈R)． (1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；

17π

(2)若x∈[0，]，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为[，]？若存在，请求出m的值；若不存在，请说

222明理由．

3π

变式1、(2014·天津理，15)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－3cos2x＋，x∈R.

34(1)求f(x)的最小正周期；

ππ

(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．

44

考点2、三角形形状的判定

1??例2、已知向量m＝?sinA，?与n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角． 2??(1)求角A的大小；

(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

变式2、(理)在△ABC中，已知atanB＝btanA，试判断△ABC的形状．

2

2

2

bsin2Cππ

变式3、(2013·中山二模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

→→→→

(2)若|BA＋BC|＝2，求BA·BC的取值范围．

[方法规律总结]

判断三角形形状时，一般先利用所给条件将条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形方面命题，故分析条件时，应着重从上述三角形满足的条件与已知条件的沟通上着手． 考点3：利用正、余弦定理解三角形

例3、(2013·新课标Ⅱ理，17)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝bcosC＋csinB. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

变式4、(理)(2013·全国大纲理，18)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sinAsinC＝

3

3－1

，求C. 4

变式5、 (2014·安徽理，16)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求a的值； π

(2)求sin(A＋)的值．

4

变式6、(理)(2014·浙江理，18)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB. (1)求角C的大小；

4

(2)若sinA＝，求△ABC的面积．

5

[方法规律总结] 1．解三角形时

(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.

2．给出边角关系的一个恒等式时，一般从恒等式入手化边为角或化角为边，再结合三角公式进行恒等变形，注意不要轻易对等式两边约去同一个因式． 【命题角度1】三角函数与其他知识交汇命题

例4、 (2013·江西文，17)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.

(1)求证：a，b，c成等差数列； 2πa

(2)若C＝，求的值．

3b

4