四川省绵阳市2018年中考数学试题(Word版,含解析)

25.如图，已知抛物线 轴与点C。

过点A 和B ，过点A作直线AC//x轴，交y

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得 由。

【答案】（1）解：∵点A、B在抛物线上， ∴

，

?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

解得：

∴抛物线解析式为：y= x - x.

（2）解：设P（x，y）， ∵A（

，-3），

∴C（0，-3），D（x,-3）, ∴PD=y+3，CO=3，AD=x- ①当△ADP∽△ACO时， ∴

=

，

，AC=

，

∴ =

∴y= x-6，

又∵P在抛物线上，

∴ ，

∴x -5 ∴（x-4 ∴x =4

x+12=0， ）（x- ,x =

）=0, ，

∴ 或 ,

∵A（ ∴P（4

，-3）， ,6）.

②当△PDA∽△ACO时， ∴ ∴ ∴y=

= = x-4,

， ，

又∵P在抛物线上，

∴ ，

∴ ∴（

x -11x+8 x-8）（x-

,x =

=0， ）=0, ，

∴x =

解得： 或 ,

∵A（ ∴P（

，-3）， ,-

）.

,6）或（

,-

）.

综上，P点坐标为（4

（3）解：∵A ∴AC= ∴OA=2 ∴ ∴h= 又∵

,OC=3， , = ，

= ·OC·AC=

，

·OA·h= ，

，

,

，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图），

∴△AOQ边OA上的高=3h= 过O作OM⊥OA,截取OM=

∵AC= ,OA=2 ,

∴∠AOC==30°， 又∵MN∥OA，

∴∠MNO=∠AOC=30°，OM⊥MN， ∴ON=2OM=9，∠NOM=60°， 即N（0,9）， ∴∠MOB=30°， ∴MH= ∴OH= ∴M（

，

），

OM=

,

=

,

设直线MN解析式为：y=kx+b， ∴

，

∴

∴直线MN解析式为：y=- x+9，

∴ ，

∴x - （x-3 ∴x =3

x-18=0, ）（x+2 ,x =-2

）=0, ，

∴ 或 ，

∴Q点坐标（3 ，0）或（-2 ，15），

.

∴抛物线上是否存在点Q，使得

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程组，解之即可得抛物线解析式.（2）设P（x，y），根据点的坐标性质结合题意可得PD=y+3，CO=3，AD=x- 分情况讨论：①当△ADP∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标（4 ②当△PDA∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 联立解一个二元一次方程组得点P坐标P（ 理得OA=2 上的高为

,-

=

= ,6）.

，代入数值可得y=

x-4,又P在抛物线上，,OC=3，由勾股定得△AOQ边OA，AC=

，x-6，

，代入数值可得y=

）.（3）根据点A坐标得AC=

，又

=

,根据三角形面积公式可得△AOC边OA上的高h= ；过O作OM⊥OA,截取OM=

，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如

图），根据直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（0,9），在Rt△MOH中，根据直角三角形性质和勾股定理得M（ 抛物线解析式联立即可得Q点坐标.

，

）；用待定系数法求出直线MN解析式，再讲直线MN和