江西省高考数学二轮复习 小题精做系列专题10

x2y2??1． 6分 所以a?b?c?5．于是椭圆C1的方程为：54222（Ⅱ）设N（t,t?1），由于y'?2x知直线PQ的方程为：

2y?(t2?1)?2t(x?t)． 即y?2tx?t2?1． 7

代入椭圆方程整理得：

4(1?5t2)x2?20t(t2?1)x?5(t2?1)2?20?0,

??400t2(t2?1)2?80(1?5t2)[(t2?1)2?4]=80(?t4?18t2?3),

5(t2?1)2?205t(t2?1)x1?x2? , x1x2?, 9分

4(1?5t2)1?5t2故PQ?1?4t2x1?x2?1?4t2.(x1?x2)2?4x1x2

【考点定位】圆锥曲线的综合，椭圆的标准方程．

x

29．已知函数f(x)?ax?lnx，函数g(x)的导函数g?(x)?e，且g(0)g?(1)?e，其中e为自然对数的底数． （1）求f(x)的极值；

（2）若?x?(0,??)，使得不等式g(x)?x?m?3成立，试求实数m的取值范围； x（3）当a?0时，对于?x?(0,??)，求证：f(x)?g(x)?2． 【答案】(1)当a?0时，f(x)没有极值；

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当a?0时，f(x)存在极大值，且当x??(2)m?3. (3)见解析.

111时，f(x)极大?f(?)?ln(?)?1. aaa【解析】试题分析：(1) 首先确定函数f(x)的定义域为(0,??)，求导数

f?(x)?a?1(x?0)．为确定函数的极值，应讨论a?0，a?0的不同情况. x

若x?(0,?)时，f?(x)?0；若x?(?1a1,??)时，f?(x)?0 a111?f(x)存在极大值，且当x??时，f(x)极大?f(?)?ln(?)?1

aaa综上可知：当a?0时，f(x)没有极值；当a?0时，f(x)存在极大值，且当x??1时，a11f(x)极大?f(?)?ln(?)?1 4分

aa(2) Q函数g(x)的导函数g?(x)?e，?g(x)?e?c

xxQg(0)g?(1)?e，?(1?c)e?e?c?0，g(x)?ex 5分 Q?x?(0,??)，使得不等式g(x)?x?m?3成立， x??x?(0,??)，使得m?x?exx?3成立，

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11Q??(1)?e?1?0，??()?e?2?0，?t?(,1)

22由于?(t)?e?t?2在t?(,1)上为增函数，

t1211??(x)min??(t)?e?t?2?e??2?2.25??2?0

22t12?f(x)?g(x)?2 14分

【考点定位】应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，应用导数证明不等式.

30．已知a，b∈R，函数f(x)＝a＋ln(x＋1)的图象与g(x)＝处有公共切线．

(1)证明：不等式f(x)≤g(x)对一切x∈(－1，＋∞)恒成立； (2)设－1＜x1＜x2，当x∈(x1，x2)时，证明：【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】(1)由题意得f′(x)＝

1312

x－x＋bx的图象在交点(0,0)32f(x)－f(x1)f(x)－f(x2)＞.

x－x1x－x212

，g′(x)＝x－x＋b，x＞－1， 1?x?f(0)＝g(0)，?a?0则?解得?

f?(0)＝g?(0)，b?1??

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由①②得

f(x)－f(x1)f(x)－f(x2)＞.

x－x1x－x2【考点定位】导数与不等式.

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