大数定律与中心极限定理及其应用

2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

１ 大数定律的应用

1.1 引言

生产、生活及科学实验中的风险事故都具有不确定性，或者称为随机性.但是，任何事情的发生、发展都具有一定的客观规律.如果各种条件都能预知,则事物发生的结果也能予以正确地测定，此时虽然风险事故仍然存在，损失仍然会发生，但是，随机性将因此消失.如果有大量的事例可供考察研究，则这些未知的、不确定的力量将有趋于平衡的自然倾向，那些在个别事例中存在的随机风险将在大数中消失，这种结论就是概率论中的大数定律.它的结论也可叙述为：大量的随机现象由于偶然性相互抵消而呈现出某种必然的数量规律.

1.2 预备知识

1.2.1 相关定义

在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义：

定义1 设?n(n?1,2,?)为概率空间(?,F,P)上定义的随机变量序列（简称随即序列）,

limp?n?????0或limp?n?????1,若存在随即变数?使对任意?＞0，恒有：

n??n??????则称随即序列｛?n｝依概率收敛于随机变量?（?也可以是一个常数），并用下面的符号表示：

n??plim?n??(p)或?n????

1n定义2 设??n?为一随即序列,数学期望E(?n)存在,令?n???i,若

ni?1n??lim?n?E(?n)?o(P)，

??则称随机序列??n?服从大数定律，或者说大数法则成立.

定义3 设?Fn(x)?是分布函数序列，若存在一个非降函数F(x),对于它的每一连续点x,

w都有limFn(x)?F(x),Fn(x)???F(x)，则称分布函数序列?Fn(x)?弱收敛于F(x).

n??定义4 设Fn(x)(n?1,2,?),F(x)分别是随机变量?n(n?1,2,?)及?的分布函数,若

wLFn(x)???F(x),则称??n?依分布收敛于?亦记为?n????且有：

(1)若?n????则?n????；

(2)设c为常数,则?n???c的充要条件是?n???c.

pLpL

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1.2.2 切比雪夫不等式及其应用

切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望?和方差?,则对于任意正数?,如下不

2?2?2等式成立，P?X??????2或有P?X??????1?2

??这个不等式可解释为：对任意给定的正常数?,可以作出两个区间(??,???)和

(???,??)，不等式表示,在一次试验中,随机变量?的取值落在

(??,???)?(???,??)的

?2概率小于等于2.

?切比雪夫（Chebyshev）不等式的应用：

（1）已知期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计在期望的?邻域的概率. （2）已知期望和方差,对确定的概率,利用切比雪夫不等式求出?,从而得到所需估计区间的长度.

（3）对n重伯努利试验,利用切比雪夫不等式可以确定试验次数. （4）它是推导大数定律和其他定理的依据.

例1：已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数的平均值是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率.

解：设X表示每毫升血液中含白细胞个数,则EX?7300,?(X)?700则

??P?X?7300?2100??1?P?X?7300?2100? P?5200?X?9400而

70021??P?X?7300?2100?

210029所以

P?5200?X?9400??8 91.3 几类重要的大数定律的应用

1.3.1 切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用

切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列X1,X2,?,Xn,?的数学期望

E(X1),E(X2),

?,E(Xn),?与方差D(X1),D(X2),?,D(Xn),?都存在,并且方差是一致有上界的,即存在某一常数K,使得D(Xi)＜K,i?1,2,?,n,?,则对于任意的正数?,有

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1n1n limP(?Xi??E(Xi)＜?)?1.

n??ni?1ni?1推论1：设随机变量X1,X2,?,Xn,?相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学 期望和方差：EXi?a,Dxi??2(i?1,2,?),则对任意给定的正数?,有

n??limP(1Xi?a＜?)?1.【1】 ?n此推论表明：n个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量,当n很大时,它们的算术平均值几乎是一常数,这个常数就是它们的数学期望.

例2：使用某仪器测量已知量a,设n次独立得到的测量值为X1,X2,?,Xn,?.如果仪器

1n2无系统误差,问n充分大时,是否可以用S??(X?a)作为仪器误差的方差近似值？

ni?12n2分析：用?表示仪器误差的方差真值.如果??＞0,恒有limP(Sn??＜?)?1,则

22n充分大时S就可以看作是?的近似值.

2n2n??解：依题意,可以将观察结果X1,X2,?,Xn,?看作是相互独立具有相同分布的随机变量.则E(Xi)??,D(Xi)??2(i?1,2,?n),仪器第i次测量误差Xi?a的数学期望

E(Xi?a)???a,D(Xi)??2

设Yi?(Xi?a)2亦是相互独立的具有相同分布随机变量,在仪器无系统误差时有

E(Xi)?a,即??a

E(Yi)?E(Xi?a)2?E(Xi??)2?D(Xi)??2,i?1,2,?,n

由切比雪夫大数定律,??＞0,有

????1nlimP(?Yi??2＜?)?1, n??ni?1即??＞0,有

1nlimP(?(Xi?a)2??2＜?)?1 n??ni?11n22从而确定当n??时,随机变量?(Xi?a)依概率收敛于?,即当n充分大时,

ni?11n2可以用S??(Xi?a)作为仪器误差的方差近似值.

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1.3.2 伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用

伯努利大数定律（频率的稳定性）：设?n是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数ε,恒有

lim?n????n?????p????0或lim?n?p????1【2】

n???n??n?表明：随着n的增大,事件A发生的频率

??n与其概率p的偏差n?p大于预先给定nn的精度?的可能性愈来愈小,小到可以忽略不计.这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率

依概率收敛于概率.这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用时间发生的频率来代替事件的概率.伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据.我们可通过多次重复一个试验,确定事件A在每次试验中出现的概率为

μn?P?P(A). n譬如,抛一枚硬币出现正面的概率p=0.5.若把这枚硬币连抛10次,则因为n较小,发生大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些.若把这枚硬币连抛n次,当n很大时,由切比雪夫不等式知：证明出现的概率与0.5的偏差大于预先给定的精度?（若取精度?=0.01）的

??n?0.5?0.5104

可能性P?.?0.5＞0.01???24n???n0.01当n=105时,大偏差放松的可能性小于于

1?2.5％.当n=106时,大偏差发生的可能性小401?0.25％.可见试验次数愈多,偏差发生的可能性愈小.

4001.3.3 辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用

我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在；但反之不成立,即一个随机变量的数学期望存在,则其方差不一定存在.以上几个大数定律均假设随机变量序列

?Xn?的方差存在,以下的辛钦大数定律去掉了这一假设,仅设每个Xi的数学期望存在,但同时要求?Xn?为独立同分布的随机变量序列.伯努利大数定律仍然是辛钦大数定律的特例. 辛钦大数定律 ：设?Xi?为一独立同分布的随机变量序列,若Xi的数学期望存在,则?Xi?服

从大数定律,即对任意的?＞0,有

1n1nlimP(?Xi??E(Xi)＜?)?1 n??ni?1ni?1成立.

辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E(X)的近似值的方法.设想对随机变量X独立

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