将动量定理应用于微元流管可以得到沿流线的伯努利方程

将动量定理应用于微元流管可以得到沿流线的伯努利方程，它是流体力学中最 重要的方程之一，在工程中运用广泛。

如图流管，设流管各截面上的物理量均匀。任取一微元段dl作为控制体。沿流管中心轴线物理量是ｌ和ｔ的函数，即。若ｌ截面参数以Ａ，

。这里我们仅限于

Ｖ，Ｐ表示；则处的参数为

讨论理想流体，故控制面上不存在切向力，只有法向力。

对于连续方程可这样建立：

控制体内质量对时间的变化率=流入质量流量-流出质量流量

出口截面流量与进口截面流量相比，差是ｌ的函数。

，同一时刻的质量流量

简化连续方程，得：

沿流线的动量方程：

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注意到重力沿-ｚ方向，

上式可化简：

适当展开上式：

用连续方程，代入，化简：

这就是沿流线的动量方程。

对于定常流动，，，将上式积分，得：

式中

是积分常数，不同流线可以是不同数。上式称作沿流线的伯努利

方程。适用于理想流体，定常流动。

对于不可压流体，，上式可写成：

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动量方程沿流线积分，得到的是能量关系式。第一项是单位重量的动能；第二项是单位重量的压力能；第三项是单位重量的重力势能。三项之和单位重量的总机械能。

上式可写成流体上任意两点间总机械能关系式：

是

若流线在同一水平面内，则

机械能守恒关系式可写成：

此时，显然同一条流线上速度越大，则压力越小；反之速度越小，则压力越大；速度等于0，则压力达最大，此时压力称为滞止压力或驻点压力。

实际上，沿流线机械能有损失，通常用

表示两截面间单位重量流体的

机械能损失，即：