2015年广东省高考数学试卷理科(2020必考)

（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1， ∴1﹣a＜0，即f（0）＜0， ∵f（∴

）=（1+a）＞1，

﹣a=

+a（

﹣1），a＞1，

﹣1＞0，即f（）＞0，

且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数， ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点． （3）证明：f′（x）=ex（x+1）2，

设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2， ∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行， ∴f′（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0， ∴x0=﹣1，

将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=

．

∴∴要证m≤

，

，

﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，

需要证（m+1）3≤em（m+1）2， 即证m+1≤em，

因此构造函数g（m）=em﹣（m+1）， 则g′（m）=em﹣1，由g′（m）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0， 当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0， ∴g（m）的最小值为g（0）=0， ∴g（m）=em﹣（m+1）≥0， ∴em≥m+1，

∴em（m+1）2≥（m+1）3， 即：

，

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∴m≤．

【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．

20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；

（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；

（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0， 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4， ∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；

（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立方程组

，

消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0， 由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜ 由韦达定理，可得x1+x2=

，

∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，

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∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3； （3）结论：当k∈（﹣线C只有一个交点． 理由如下： 联立方程组

， ，

）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲

消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0， 令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）?16k2=0，解得k=±， 又∵轨迹C的端点（，±

）与点（4，0）决定的直线斜率为±

，

∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时， k的取值范围为[﹣

，

]∪{﹣，}．

【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．

21．（14分）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣（1）求a3的值；

（2）求数列{an}的前 n项和Tn； （3）令b1=a1，bn=和Sn满足Sn＜2+2lnn．

【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；

（2）利用作差法求出数列{an}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn；

（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式． 【解答】解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣解得a2=，

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，n∈N+．

+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项

，n∈N+．

=2，

∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+．

，n∈N+． ）=

，n≥2，

∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣两式相减得nan=4﹣则an=

，n≥2，

﹣（4﹣

当n=1时，a1=1也满足， ∴an=则a3=（2）∵an=

，n≥1， ；

，n≥1，

∴数列{an}是公比q=，

则数列{an}的前 n项和Tn==2﹣21﹣n．

（3）bn=∴b1=a1，b2=∴bn=

+（1+++…+）an， +（1+）a2，b3=

（1++）a3，

+（1+++…+）an，

∴Sn=b1+b2+…+bn=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）an

=（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+）， 设f（x）=lnx+﹣1，x＞1， 则f′（x）=﹣

．

即f（x）在（1，+∞）上为增函数， ∵f（1）=0，即f（x）＞0， ∵k≥2，且k∈N?时，

，

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