4 5 专题 - 中点的妙用（初三数学）

中点的妙用

1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）(三线合一)

A．

2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.( 斜边上的中线，等于斜边的一半)

A

M N

B O C

3、如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A?B?C?D?A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B?C?D?A?B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）( 斜边上的中线，等于斜边的一半) A. 2 B. 4－? ADC.? D.??1

Q

M

BCF

第8题图

4、如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？(中位线)

D A

FEN M

BC图2-1

691216 B． C． D．5555

1

5、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长（利用等腰三角形的三线合一找中点）

6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）

如图所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？

7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，?ACD?60?，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.

求证：△SPQ是等边三角形。 DC

S OQ

P AB图 6-1四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）

8、如图：梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,E为AB中点，求证：DE⊥EC

AD

E

CB9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、

2

C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；

（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 F F E D A M A M D B E C

B C G

G 图甲 图乙

五、有中点时常构造垂直平分线

110、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=2BC。 求证：△ADC为等边三角形。

B D

11、如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE， 求证：S△ABE=

12、如图，M是

A C 1S四边形ABCD。 2ABCD中AB边的中点。CM交BD于点E，图中阴影部分面积与3

ABCD面积之比

为

D E C A M B 13、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则

S四边形AGCDS矩形ABCD等于：

A、

5432 B、 C、 D、 6543

七、倍长中线

14、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD

15、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE

16、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，

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