2012年浙江省余姚中学自主招生模拟考试数学试卷2

答案

C A D D B C D D

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分） 题号 9 10 11 12 13 答案

三、解答题（本大题共4小题，共50分）

16．解：⑴设生产第X档次的产品，获得利润为y元，则

-3＜a≤2

a?5?12714

8315 1

2600 10

1

y?[40?2x(?1)][?17x?( ………………3分

52)?684.5

2即 y??2(x?∴当X=2.5时，y的最大值为684.5 ∵x为正整数

∴x=2时,y=684，x=3时,y=684，

∴当生产第2档次或第3档次的产品时所获得利润最,最大利润为684元

⑵设生产最低档次的产品每件利润为a元,生产第x档次的产品，获得利润为y元，则 y?[40?2(x?1)][a?(x?1)]

22?a2a?40a?400222 即 y??2(x?)?2

∴当x=

22?a2时，y最大=

a?40a?4002

∵8≤a≤24，x为1到6的整数

?1?2??3∴ x??

?4?5??6(19?a?24)(17?a?19)(15?a?17)(13?a?15)(11?a?13)(8?a?11)

17．（14分） 解：（1）y?3x2?3. ………………3分 （2）①令令?3x2?3?0，得：x1??1,x2?1 ，

则抛物线c1与 轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）. ∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）. 当AD当AB??1313AEAE 时，如图①，??1?m????1?m??时，如图②，?1?m????1?m??y M 1313???1?m????1?m??? ，∴m?2?12…6分

???1?m????1?m???， ∴m.……8分

A D O B E x 图M N y A B O D E x 图② ∴当m?12N 或2时，B，D是线段AE的三等分点.

②存在. ………………9分

方法一 理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M??m,3?,N?m,?3?. 即M，N关于原点O对称， ∴OM?ON.

∵A??1?m,0?,E?1?m,0?， ∴A，E关于原点O对称， ∴OA?OE， ∴四边形ANEM为平行四边形. ………………12分 要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM?OA, 即m2?(3)???1?m?22， ∴m?1.

∴当m?1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………14分 方法二

理由：连接AN、NE、EM、MA. 依题意可得：M??m,3?,N?m,?3?. 即M，N关于原点O对称， ∴OM?ON.

∵A??1?m,0?,E?1?m,0?， ∴A，E关于原点O对称， ∴OA?OE， ∴四边形ANEM为平行四边形. ………………12分 ∵AM2?(?m?1?m)2?(3)2?4，

ME?(1?m?m)?(3)?4m?4m?4AE?(1?m?1?m)?4m?8m?42222222，

，

若AM2?ME2?AE2，则4?4m2?4m?4?4m2?8m?4，∴m?1. 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°.

∴当m?1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………14分

18．（12分）

（1）证明：连接AG，则∠AGF=∠AEF=90°，

∴AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，

即A、E、G、F四点在同一个圆上． …………2分 （2）证明：∵A、E、G、F四点在同一个圆上． ∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．

∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°， ∴∠BAG=∠BFE．

∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG， ∴∠MAB=∠NGB． ∵∠NGB=∠NAB，

∴∠MAB=∠NAB．

∴AB平分∠MAN． …………7分 （2）解：连接OC、BM， ∵OC=5，CE=3，

∴在Rt△OEC中得OE=4． ∴AE=9．

在Rt△AEF，EF=6， ∴AF=313．

∵AB=10，由Rt△ABM∽Rt△AFE得

AE?ABAE9?1013301313AMAE?ABAF ，

∴AM= ??．

∵AB平分∠MAN， ∴AN=AM=

19．（14分） 解：（1）如图，

S阴?S?OAB?S扇形OBB??S?OAA??S扇形OAA?

301313 …………12分

=S扇形OBB??S扇形OAA??45360?(2)?245360??1?2?8

---------------------------------4分

（2）p值无变化----------------------------5分 证明：延长BA交y轴于E点， 在?OAE与?OCN中，

??AOE??CON?90???AON? ??OAE??OCN?90??OA?OC?所以，?OAE≌?OCN

所以，OE=ON，AE=CN--------------------------7分 在?OME与?OMN中 ?OE?ON???MOE??MON?45? ?OM?OM?所以，?OME≌?OMN

所以，MN==ME=AM+AE=AM+CN------------------------8分

所以，P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2--------------------9分 （3）设AM?n,则BM?1?n,CN?m?n,BN?1?m?n， 因为，?OME≌?OMN， 所以，S?MON?S?MOE?212OA?EM?2212m----------------------10分

在Rt?BMN中，BM?BN?MN

所以，(1?n)?(1?m?n)?m?n?mn?2?m?0

2所以，??m?4(2?m)?0?m?23?2或m??23?2---------------12分

2222所以，当m?23?2时，?OMN的面积最小-------------------13分

Rt?BMN的内切圆半径为

BM?BN?MN2?3?23----------------14分