2003年考研数学三真题及全面解析

?200??，

QTAQ??020????00?3??且二次型的标准形为

222 f?2y1?2y2?3y3.

十一、（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

?1,若x?[1,8],? f(x)??33x2

其他;??0,F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0?F(X)?1)，再对y分段讨论.

【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于x?[1,8]，有 F(x)??x133t21dt?3x?1.

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当y?0时，G(y)=0；当y?1时，G(y)=1. 对于y?[0,1)，有

G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y} =P{3X?1?y}?P{X?(y?1)3} =F[(y?1)]?y. 于是，Y=F(X)的分布函数为

3?0,若y?0,? G(y)??y,若0?y?1,

?1,若y?1.?十二、（本题满分13分）

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X~??0.3??12??， ?0.7?而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

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【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.

【详解】 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u)?P{X?Y?u}

=0.3P{X?Y?uX?1}?0.7P{X?Y?uX?2} =0.3P{Y?u?1X?1}?0.7P{Y?u?2X?2}. 由于X和Y独立，可见

G(u)= 0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2}

=0.3F(u?1)?0.7F(u?2).

由此,得U的概率密度

g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2)

=0.3f(u?1)?0.7f(u?2).

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