数学建模优秀论文 输油管的布置

（3）有共用管线，但共用管线费用与非共用管线费用不同。 下面我们分别讨论不同情形下问题的解。 （一）没有共用管线的情形

B A b a P A? D a l

图2

此时管线费用w?k?s，为使费用最低，只要使s?PA?PB最小即可。

我们利用初等几何对称的知识，图形求解。作A点关于直线的对称点A?，连结A?B交铁路线于P，此时P点即为车站所在位置，这时管线沿着AP，PB铺设费用最低，

smin?l2?(a?b)2 ，wmin?kl2?(a?b)2，其中PD?bl。 a?b

A?

（二）有共用管线但共用管线费用与非共用管线费用相同

y B?l,b? P?x1,t? A(0,a) a O b C D x

图3

如上图建立直角坐标系，设P(x1,t)，此时k1?k2?k3?k， w?k?s， w与s成正比，所以此题简化为求一个点到定直线和两个定点的距离之和最短，即s?PA?PB?PC最小，这是“费尔马点”问题的推广（见参考文献[1]）。易知，欲使PA?PB?PC 最小，点 P一定在四边形 OABD内部(包括边界)。

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若t?a，即点P在直线 y?a的上方（如图3）时， 由于

PA?PB?PC?AB?PC?AB?AO，

所以，点 P不可能在 A点的上方，故0?t?a。

为了便于问题的解决，我们先假设t固定了，即 P点只可以在直线y?t上左右平移。

y B?l,b? A?0,a? P?x1,t? A?(0,2t?a)y?t

O C D x

图4

设点A关于直线y?t的对称点为A'，则A'?0,2t?a?。（如图4）由平面几何知识可知:

s?PA?PB?PC?PA'?PB?PC?A'B?PC?l2??2t?a?b?2?t 记

f(t)?l2??2t?a?b?2?t ?0?t?a?，

则 f'(t)?2?(2t?a?l)l2。

?(2t?a?b)?1由f'(t)?0得出

l2?(2t?a?b)2?2(a?b?2t)?0，

即

t?a?b2?3l6或t?a?b2?3l6?a（舍去）

。 又由0?a?b2?3l6?a得3(b?a)?l?3(a?b) 6

?0?t?a?。

（Ⅰ）当0?l?3(b?a)时，易判断f'(t)?0，即f(t)在区间?0,a?上单调递减，所以

fmin(t)?f(a)?a?l2?(a?b)2。

此时，易求出点P的坐标为?0,a?，即点P与点A 重合时，s最小。

?a?b3l??(Ⅱ) 当3(b?a)?l?3(a?b)时，易判断 f?t?在区间?0,?上单调减， 在?26?区间??a?b?3l,a??26?上单调增，所以 ?f(t)?f??a?b3l?a?b?3lmin?2?6???。 ??2当t?a?b3l2?6时，A'的坐标为???0,b?3l?，从而?3??A?B的方程为 ?y?33l3x?b?3， 而当t?a?b3l2?6时，y?t变为 y?a?b3l2?6 ， 联立方程（1）、（2）得方程组，解得A?B与y?t的交点P的坐标为

P??3(a?b)?la?,?b?3l??226??。 ?(Ⅲ) 当l?3?a?b?时，易判断f'(t)?0，即f(t)在区间?0,a?上单调递增，所以f2min(t)?f(0)?l?(a?b)2，

此时A'的坐标为?0,?a?，点P坐标为P??al??a?b,0??。

综上所述：

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1） 2） （ （