重点高中数学经典高考难题集锦（解析版）

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

一．解答题（共10小题）

1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线

（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x

轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；

（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．

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2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； 22（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x+（y+1）=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数 ）试判断他们的公共所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 226．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x+（y﹣3）=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点． （Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

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7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）+y=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．

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8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B． 欢迎阅读

（Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）是否存在常数k，使得向量

与

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请

说明理由．

9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为

，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=

时，点

P的速度为v，求这时点M的速度．

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10．过原点O作圆x+y﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 考点：直线和圆的方程的应用． 专题：计算题；压轴题． 分析：（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所 以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解； （2）由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可． 解答：解： （1）证明：点（t＞0）， 因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． 所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）． 于是圆C的方程是． 由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上， 于是多边形EACB为Rt△AEB， 其面积． ．则所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4． （2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，，kMN=﹣2． 所以由kEC?kMN=﹣1，得t=2， 欢迎阅读

所以圆C的方程是（x﹣2）+（y﹣1）=5． 点评：（1）重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上， 故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式； （2）重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数． 222．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 考点：直线与圆的位置关系；二次函数的性质． 专题：计算题；压轴题． 分析：（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式 进行化简． （Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变． 解答： 解：（Ⅰ）直线l方程， 原点O到l的距离为（3分） 22弦长（5分） ?ABO面积∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），? ∴（Ⅱ） 令 ∴． ∴当t=时，? （﹣1＜k＜1且K≠0）（8分）， ， 时，Smax=2（12分） 点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的 最大值，注意换元中变量范围的改变． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为

．求该圆的方程．

考点：直线与圆的位置关系． 专题：综合题；压轴题． 分析：设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关欢迎阅读

系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x﹣2y=0的距离，让其等于，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可． 解答：解：设圆P的圆心为P（a，b） ，半径为r， 则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|． 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°， 知圆P截x轴所得的弦长为．故r=2b 2222又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r=a+1．从而得2b﹣a=1； 又因为P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1， 22由此有或 解方程组得或2，于是r=2b=2， 22222所求圆的方程是：（x+1）+（y+1）=2，或（x﹣1）+（y﹣1）=2． 点评：本小题主要考查轨迹的思想， 考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； 22（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x+（y+1）=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程． 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物（线的标准方程． （Ⅱ） 由直线与圆相切可得 ．把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及，求得，求得点O到直线的距离，从而求得，由此函数在（0，4）单调递增，故有而得出结论． 2解答： ：解（Ⅰ） 设抛物线方程为x=2py， 2由已知得：2=2p，所以 p=2， 2所以抛物线的标准方程为 x=4y． （Ⅱ） 不存在． 欢迎阅读

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