刚体的角动量守恒定律

§ 5－3 刚体的角动量守恒定律

教学目标：理解转动定律，转动惯量，平行轴定理，角动量守恒定律 重点难点：会求常见刚体的转动惯量，运用平行轴定理与转动定律

一、刚体定轴转动的角动量

刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：

Li?miri?

2o? L vi o ri mi 所以刚体绕此轴的角动量为：L?二、转动定律 1. 定律的推导

?Lii?(?miri)?i2 ??FF受外力i和刚体中其它质点作用的内力i?的作用，并设这两种力均在与Oz轴相垂直的同一

如图所示，刚体上某一质点i，质量为?mi，绕Oz轴作半径为r的圆周运动。设质点ii平面内。由牛顿第二定律，质点i的运动方程为：

????Fi?Fi??miai

切向方程为：

Fisin?i?Fi?sin?i??miai???miri???miri?2

?法向方程为：??Ficos?i?Ficos?i???miain

上式两边各乘以ri，得：

Firisin?i?Fi?risin?i??miri?2

外力矩 内力矩

若考虑所有质点，则由可得

?iFirisin?i??i?2?Fi?risin?i????miri???i?

??Fi?risinθi?0i

?2???Firisin?ii????miri??i?i?

nM?令

?Frsin?iii?1niJ???M则有：?J?，它为刚体所受的外力矩，令

??mri?12ii为转动惯量，

2. 刚体定轴转动定律表述

刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外

力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 3. 讨论

（1）和牛顿第二定律相比较，地位相当；

（2）瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。

（3）定轴转动情况下，可以使用双向标量来处理。

三、转动惯量 1. 定义

刚体绕给定轴的转动惯量 J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的

ni?1平方的乘积之总和。

它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动

的刚体本身的性质和转轴的位置有关。

2. 物理意义：转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。

J???mr2ii3. 单位：kg?m

4. 转动惯量的计算：点→线→面→体

（1）如果刚体上的质点是连续规则分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，

即

J?2?rdm2；

（2）几何形状不规则刚体的J，由实验测定。

ni?1（3）回转半径为刚体的总质量。

5. 几种常见刚体的转动惯量见课本126

四、平行轴定理

刚体绕任何一轴的转动惯量J和绕通过其质心平行轴的转动惯量JC的关系：

rG?Jm,m???miJ?JC?md

两轴平行； JC 为刚体绕质心轴的转动惯量； d为两平行轴间距离。 2c c d o 说明：

1)通过质心的轴线的转动惯量最小；

2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。

例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 解：取如图坐标，dm=?dx

B A L JA?o X

L?L02x?dx?mL/3JC?2?2L?2x?dx?mL/12

22例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解：

O

R

dm J??Rdm?R22?dm?mR2

1例3 如图，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮的质量为M 、半径为 R，其转动惯量为2MR2，滑轮轴光滑。

试求该物体由 静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

解：如图，选取向下为坐标轴正向，设物体下落的角速度为a，

滑轮转动的角加速度为β，根据牛顿第二定律和刚体定轴转动定律，

对m： mg?T?ma （1） 对M： TR?J? （2） 又因为：

a?R?J?12MR2 （3）

mgM???m??2??，可见物体作匀加

a?联立（1）、（2）、（3）解得：

速直线运动。

v?at?mgtm?M2。 由初始条件v0?0，得

五、刚体定轴转动的角动量守恒定律

当M?0时，得Jω = 恒量。即，如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩

的所用，物体的角动量保持不变——角动量守恒定律。 例子：

在日常生活中，符合角动量守恒定律的例子也是很多的。例如，舞蹈演员、溜冰运动员等，在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂靠拢身体，使自己对体中央竖直轴的转动惯量迅速减小，因而旋转速度加快。又如跳水运动员在空中翻筋斗时(如图)，跳水员将两臂伸直，并以某一角速度离开跳板，跳在空中时，将臂和腿尽量卷缩起来，以减小

他对横贯腰部的转轴的转动惯量，因而角速度增大，在空中迅速翻转，当快接近水面时，再伸直臂和腿以增大转动惯量，减小角速度，以便竖直地进入水中。

例4 一质量为 m 的子弹，穿过如图所示的摆锤后，速率由 v 减少到v/2。若摆锤的质量为 M，摆杆的质量也为 M（均匀细杆），长度为 l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，子弹的速度的最小值应为多少？ 解：（1）取摆锤、地球和子弹为系统，子弹穿过摆锤过程中，系统对转轴的角动量守恒：L子弹前＝L子弹后+L摆锤+L摆杆

mvl??m?M?lv2?即：

Ml32?

8Ml 得摆锤开始转动的角速度为

（2）摆锤开始转动后机械能守恒，设摆锤在垂直位置低点为势能零点，则到达最高点时有：

??3mv11l3l?v?22M???Ml??Mg?Mg2l?Mg22322 ?2?9g??2l 解得：

v?8Ml3m12??4Mm2gl即：

例5 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为 m，长为 l 的匀质柔软绳索。设绳与圆盘的边缘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳

长之差为 s 时，绳的加速度的大小。

解：建立坐标系如图，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1， x2，选取取x1、x2的绳子及圆盘为研究对象，设绳子单位长度质量为λ，则 对x1， T1?x1?g?x1?a （1） 对x2， x2?g?T2?x2?a （2）

?T2?T1?r对圆盘，

?1??Mr?222???r?r??? （3）

由角量和线量关系： a?r? （4） 并注意到：l??r?x1?x2x2?x1?s 联立（1）、（2）、（3）、（4）、（5）得：

a?smg??m?1M??2?l?

（5）