2019高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题学案

一、选择题

→→2

1.F1，F2是椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值是( )

4A.－2

B.1

C.2

D.4

x2

解析 设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)，

PF1·PF2＝(－3－x)(3－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，注意到－2≤x2－2≤1，因此PF1·PF2的最大值是1.

答案 B

2.(2018·镇海中学二模)若点P为抛物线y＝2x上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( ) A.2

1B. 2

1C. 4

1D. 8

2

→→

→

3434

→

122

解析 根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|＝d.抛物线的方程为y＝2x，即x＝y，

2111

其准线方程为y＝－，∴当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.

888答案 D

x2y2

3.设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m3m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)

解析 (1)当焦点在x轴上，依题意得 0

2m3

B.(0，3]∪[9，＋∞) D.(0，3]∪[4，＋∞)

∴03，且m∠AMB≥tan＝3，∴m≥9，

23

综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A

4.已知F是抛物线C：y＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝( ) A.3

B.5

C.6

D.10

2

13

解析 因y＝8x，则p＝4，焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2.如图，

2

M为FN中点，

故易知线段BM为梯形AFNC的中位线， ∵|CN|＝2，|AF|＝4， ∴|MB|＝3，

又由定义|MB|＝|MF|， 且|MN|＝|MF|，

∴|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MB|＝6. 答案 C

5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y＝43x的焦点的直线l与双曲线C：－y＝1的两

2个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1·x2>0，则直线l的斜率k的取值范围是( )

2

x2

2

?11?A.?－，? ?22?

C.?－

1??1??B.?－∞，－?∪?，＋∞? 2??2??D.?－∞，－

?

?22?，? 22??

?2??2??∪?，＋∞? 2??2?

解析 易知双曲线两渐近线为y＝±－

22

x，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k>或k<22

2

时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x2>0. 2

答案 D

6.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)

B.(0，2)

C.(2，0)

D.(1，0)

2

121

解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x，则y′＝x，则在点

42

A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1，

1

同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2，

2又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程， 11

代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，

22

1

这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，

21

即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过点(0，2).

2

14

1212

答案 B 二、填空题

x2y2

7.已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0相交，则双曲线的离心

ab率的取值范围是______.

解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆x－4x＋y＋2＝0可化为(x－2)＋y＝2，其圆心为(2，0)，半径为2. 因为直线bx±ay＝0和圆(x－2)＋y＝2相交， 所以

|2b|

2

2

2

ba222

a2＋b2

2

＜2，整理得b＜a. 2

2

2

2

2

22

从而c－a＜a，即c＜2a，所以e＜2.

又e＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)

x2y2

8.(2018·金华质检)已知椭圆＋2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线

4bl交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________，椭圆的离心率

为________.

解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.

2b2

由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即＝3，可求得b＝3，即b2

ac＝3，e＝＝

a答案

13 2

?b?1－??＝?a?

2

311－＝. 42

9.已知抛物线C：x＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q→→

切于点P，则FP·FQ的最小值为________，此时圆Q的方程为________.

→

→→→→→→|PF|→2

解析 如图，在Rt△QPF中，FP·FQ＝|FP||FQ|cos∠PFQ＝|FP||FQ|＝|FP|＝

→|FQ|→2

|FQ|－1.

→

由抛物线的定义知：|FQ|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线→

的顶点到准线的距离最短，∴|FQ|min＝2，

2

15

→→

∴FP·FQ的最小值为3. 此时圆Q的方程为x＋y＝1. 答案 3 x＋y＝1

10.(2018·温州模拟)已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，

2

2

2

2

2

B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.

解析 不妨设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0). 则|AC|＋|BD|＝y1＋x2＝y1＋. 4又y1y2＝－p＝－4，

2

y22

4

∴|AC|＋|BD|＝－(y2<0).

4y2

y22

x24x3＋8

设g(x)＝－(x＜0)，则g′(x)＝2，从而g(x)在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.

4x2x∴当x＝－2时，|AC|＋|BD|取最小值为3. 答案 3

x2y2

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦

ab点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心

2率是________.

b??

解析 联立方程组?by＝??2，B?－

x2y2

＋＝1，a2b2

解得B，C两点坐标为

??3b??3b?

a，?，C?a，?，又F(c，0)， 22??22?

3b?→?3ab?→?

则FB＝?－a－c，?，FC＝?－c，?，

2?2??2?2→→

又由∠BFC＝90°，可得FB·FC＝0，代入坐标可得： 3bc－a2＋＝0，①

44

2

2

16