2019年八年级数学上册 暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质讲义 新人教版

第六讲

角平分线的性质

教学目标：

1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线

2.能利用角平分线的性质解决简单问题

3.角平分线的性质及判定定理的运用

重点难点：

1.角平分线的性质的运用与逆用。

2.利用角平分线构造全等三角形。

3.继续学习证明及综合法证明的格式。

知识导航：

1.角平分线的画法 （1）已知∠AOB，求作∠AOB 的角平分线：

A ①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。

M C 1

②分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交

2

B O N 于点 C。

③过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角平分线。

2．角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。

3．三角形的角平分线的性质

（1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。

（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。

（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。

考点/易错点 1

角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线；

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；

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3． OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。

典型例题：

3

【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的 倍．（要求：写出已知、求作，保留作图 2痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)

已知： 求作：

3【答案】已知： ?AOB ．求作： ?AOC ，使 ?AOC ? ?AOB ．作图如右上所示：

2【解析】首先画出∠AOB 的角平分线，再以 OB 为边，画∠BOC=∠BOF．

【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE

⊥AB 于 E，若 AC=3cm，则 AD+DE 为（ ）

A． 3cm B． 4cm

C． 2cm D． 无法确定

【答案】A．

【解析】∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∴AD+DE=AD+DC=AC，∵AC=3cm，∴AD+DE=3cm．

【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中，AD∥BC，若∠DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，且 BE 恰好平 分∠ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（

）

A． AB＞AD+BC

B． AB＜AD+BC C． AB=AD+BC D． 无法确定

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【答案】C．

【解析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF，易证 AE⊥BE，△ ADE≌△AFE（SAS），所以∠1=∠2，又

∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，所以∠3=∠4，所以可证△ BCE≌△BFE，

所以 BC=BF，所以 AB=AF+BF=AD+BC；

解法 2：如图，延长 AE 交 BC 延长线于 F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD=180°，∵BE 平分∠CBA，AE 平分 ∠BAD，∴∠EBA+∠BAE=90°，∴∠BEA=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AF，由△ ABE≌△FBE（ASA），可得 BA=BF，

AE=FE，于是可证△ ADE≌△FCE（ASA），所以 AD=CF，所以 AB=BC+CF=BC+AD．

【例 4】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=14，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，AD=10，则点 D 到 AB 的距离 为（ ）

A．10 B．4 C．7 D．6

【答案】B．

【解析】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵AC=14，AD=10，∴CD=AC﹣AD=14﹣10=4，

∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=CD=4．

【例 5】如图，在△ABC 中，AC=CB，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠E=90°，那么 AD 与 BE 的长度 关系为

。

【答案】AD=2BE

【解析】理由是：延长 AC，BE 交于 O，∵∠C=∠AEB=90°，∠CDA=∠EDB，∴由三角形内角和定理得：

∠1=∠3，∵∠ACD=∠BCO=90°，

??1 ? ?3

? ，∴△ACD≌△BCO（ASA），∴AD=BO， 在△ACD 和△BCO 中， ??AC ? BC

??ACD ? ?BCO ??

∵AD 平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AEB=∠AEO=90°，

??1 ? ?2

? ，∴△AEO≌△AEB（ASA），∴OE=BE，∴BO=2BE， 在△AEO 和△AEB 中， ??AE ? AE

??AEO ? ?AEB ??

∴AD=2BE，

【例 6】为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂 石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（

）

A． 仅有一处 B． 有四处 C． 有七处 D． 有无数处

【答案】 A．

【解析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．满足条件的点有一 个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．