2012年湖北高考数学考纲

∵|O?P|?11212|AC|?x1?(y1?p)2?y1?p2， 222y?p1|O?H|?|a?1|?|2a?y1?p|，

22222∴|PH|?|O?P|?|O?H|

11?(y12?p2)?(2a?y1?p)2 44p?(a?)y1?a(p?a)，

2p2∴PQ?(2PH)2?4[(a?)y1?a(p?a)].

2pp令a??0，得a?，此时PQ?p为定值，

22故满足条件的直线l存在，其方程为 py?，即抛物线的通径所在的直线.

2' 【说明】本题考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查代数化研究解析几何问题的思想和方法，以及综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.本题属于难题.

【试题38】（2007年湖北卷理科第21题） 已知m,n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x??1时，(1?x)m?1?mx；

1n1mn1（Ⅱ）对于n?6，已知(1?)?，求证(1?)?()m,m?1,2,?,n；

n?32n?32（Ⅲ）求出满足等式3n?4n???(n?2)n?(n?3)n的所有正整数n. 【答案】

（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当m?1时，原不等式成立；当m?2时，左边?1?2x?x2，右边?1?2x，

因为x2?0，所以左边?右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m?k时，不等式成立，即(1?x)k?1?kx，则当m?k?1时， ∵x??1，∴1?x?0.于是在不等式(1?x)k?1?kx两边同乘以1?x得

(1?x)k?(1?x)?(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx2?1?(k?1)x，

所以(1?x)k?1?1?(k?1)x.即当m?k?1时，不等式也成立. 综合（ⅰ）、（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立.

1mm（Ⅱ）证：当n?6，m?n时，由（Ⅰ）得(1?)?1??0，

n?3n?3mn1mn1nm1于是(1?)?(1?)?[(1?)]?()m，m?1,2,?,n.

n?3n?3n?32（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n?6时，

1n2nnn11211(1?)?(1?)???(1?)??()???()n?1?n?1，

n?3n?3n?32222n?2nn?1n3n∴()?()???()?1，

n?3n?3n?3nnn即3?4???(n?2)?(n?3)n. 即当n?6时，不存在满足该等式的正整数n.

故只需要讨论n?1,2,3,4,5的情形： 当n?1时，3?4，等式不成立； 当n?2时，32?42?52，等式成立； 当n?3时，33?43?53?63，等式成立；

当n?4时，34?44?54?64为偶数，而74为奇数，故34?44?54?64?74，等式不成立； 当n?5时，同n?4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n只有n?2,3.

【说明】本题考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识，考查观察、猜测等数学方法的运用以及方程思想. 本题属于难题.

【试题39】（2006年湖北卷理科第21题） 设x?3是函数f(x)?(x2?ax?b)e3?x（x?R）的一个极值点. （Ⅰ）求a与b的关系（用a表示b），并求f(x)的单调区间； （Ⅱ）设a?0，g(x)?(a2?取值范围.

【答案】

23?x（Ⅰ）f?(x)????x?(a?2)x?b?a??e.

由f?(3)?0得b??2a?3. 所以f(x)?(x2?ax?2a?3)e3?x，

25x)e. 若存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立，求a的4f?(x)??[x2?(a?2)x?3a?3]e3?x??(x?3)(x?a?1)e3?x. 令f?(x)?0得x1?3,x2??a?1.

由于x?3是f(x)的极值点，故x1?x2，即a??4.

当a??4时，x1?x2.故f(x)在(??,?3]上为减函数，在[3,?a?1]上为增函数，在[?a?1,??)上为减函数；

当a??4时，x1?x2.故f(x)在(??,?a?1]上为减函数，在[?a?1,3]上为增函数，在[3,??)上为减函数. （Ⅱ）解法1：（顺向思考方法）当a?0时，?a?1?0,故f(x)在[0,3]上为增函数，在[3,4]上为减函数，

3因此f(x)在[0,4]上的值域为??min?f(0),f(4)?,f(3)??????(2a?3)e,a?6??. 2525?25x?)e在[0,4]上为增函数，所以值域为?a2?,(a2?)e4?.

444??251注意到(a2?)－(a?6)?(a?)2?0，故由假设知

42?22533?(a?)?(a?6)?1,解得0?a?.故a的取值范围是(0,). 4?22??a?0.而g(x)?(a2?（Ⅱ）解法2：（逆向思考方法）“存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立”的否定是“对任意的x,t?[0,4]，都有f(x)?g(t)?1成立”，同解法1的推理可得到 f(0)?g(4)?f(x)?g(x)?f(3)?g(0).

?|f(0)?g(4)|?1,3从而应有?在a?0的前提下，可解得a?，

2?|f(3)?g(0)|?1.3). 2【说明】本题将函数与不等式有机整合，主要考查函数的单调性和值域的概念，围绕着这个概念，重点考查函数的单调区间和最值的求法. 考点涉及到复合函数的求导、函数性质、不等式解法、集合关系等. 本题属于难题.

【试题39】（2011年湖北卷理科第21题）

（Ⅰ）已知函数f(x)?lnx?x?1，x?(0,??)，求函数f(x)的最大值；

故取补集可得问题（Ⅱ）所求a的取值范围为(0,（Ⅱ）设ak,bk(k?1,2,?,n)均为正数，证明：

（1）若a1b1?a2b2???anbn?b1?b2???bn，则a1b1a2b2?anbn?1； （2）若b1?b2???bn?1，则【答案】

（Ⅰ）解：f(x)的定义域为(0,??). 令f?(x)?1解得x?1.当0?x?1时，f?(x)?0，?1?0，

x122. ?b1b1b2b2?bnbn?b12?b2???bnn所以f(x)在(0,1)内是增函数；

当x?1时，f?(x)?0，所以f(x)在(1,??)内是减函数；

故函数f(x)在x?1处取得最大值f(1)?0. （Ⅱ）证法1：（1）由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f(x)?f(1)?0，即lnx?x?1. ∵ak，bk?0，从而有lnak?ak?1(k?1,2,?,n)，得bklnak?akbk?bk. 求和得?lnak??akbk??bk.

bkk?1k?1k?1nnn??akbk??bk，?ln(a1b1a2b2?anbn)?0，即a1b1a2b2?anbn?1.

k?1k?1nn（2）①先证b1b1b2b2?bnbn?1. nnnn11令ak??k?1,2,?,n?，则?akbk???1??bk，

nbkk?1k?1nk?1于是由（1）得(?b1b1b2b2?bnbn?n1b11b21bn1)()?()?1，即b1b2?nb1?b2???bn?n， bnnb1nb2nbnb1b2?bn1. n22???bn②再证b1b1b2b2?bnbn?b12?b2.

nnbk1n2记S??b，令ak?(k?1,2,?,n)，则?akbk??bk?1??bk，

Sk?1Sk?1k?1k?1bbb于是由（1）得(1)b1(2)b2?(n)bn?1，

SSS22???bn即b1b1b2b2?bnbn?Sb1?b2???bn?S，∴b1b1b2b2?bnbn?b12?b2.

2k综合①②，（2）得证. 证法2：（1）由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f(x)?f(1)?0，即lnx?x?1. 因为ak?0(k?1,2,?,n)，所以lnak?ak?1(k?1,2,?,n).

又由a1b1?a2b2???anbn?b1?b2???bn，得b1(a1?1)?b2(a2?1)???bn(an?1)?0. 于是由bk?0(k?1,2,?,n)，可得

ln(a1b1a2b2?anbn)?b1lna1?b2lna2???bnlnan

?b1(a1?1)?b2(a2?1)???bn(an?1)?0，即a1b1a2b2?anbn?1.

1. n由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f?x??f?1??0，即lnx?x?1.

（2）①先证b1b1b2b2?bnbn?111??1，即lnx?1?. xxx1从而由nbk?0(k?1,2,?,n)，有lnnbk?1?(k?1,2,?,n).

nbk所以当x?(0,??)时，有ln因为bk?0(k?1,2,?,n)，且b1?b2???bn?1，所以

ln(b1b1b2b2?bnbn)?lnn?b1lnb1?b2lnb2???bnlnbn?(b1?b2???bn)lnn

?b1(lnb1?lnn)?b2(lnb2?lnn)???bn(lnbn?lnn)?b1lnnb1?b2lnnb2???bnlnnbn

111?b1(1?)?b2(1?)???bn(1?)?b1?b2???bn?1?0，

nb1nb2nbn即ln(b1b1b2b2?bnbn)??lnn?ln②再证b1b1b2b2?bnbnnk?111，故b1b1b2b2?bnbn?. nn222?b1?b2???bn.

bkbk??1(k?1,2,?,n)， SS记S??bk2，则同前可得ln于是ln(b1b1b2b2?bnbn)?lnS?b1lnb1?b2lnb2???bnlnbn?(b1?b2???bn)lnS

bbb?b1(lnb1?lnS)?b2(lnb2?lnS)??bn(lnbn?lnS)?b1ln1?b2ln2??bnlnn

SSSbbb122?b1(1?1)?b2(2?1)???bn(n?1)?(b12?b2??bn)?(b1?b2???bn)

SSSSbb22???bn. ?1?1?0，即ln(b1b1b2b2?bnn)?lnS?0，故b1b1b2b2?bnn?b12?b2综合①②，（2）得证.

【说明】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 本题属于难题.