2019年湖南省普通高中学业水平考试模拟数学试题(二)

20．（本小题10分）在ΔABC中，已知→AB·→CA＝→BA·→CB＝－1．

(1)求证：ΔABC是等腰三角形； (2)求AB边的长；

(3)若|→AB＋→AC|=6，求ΔABC的面积．

2019年湖南省普通高中学业水平考试模拟数学试题（二）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1—10 AADBA ADCDD

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二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共

20分．

7?11.-2 12.??3,5? 13.720 14.外

???2????2k?,?2k?,k?Z 15.??3?3??

三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（1）x?6,y?0.6；（2）y=17.

a5?4?0.3当x?3??0.3?0.1(x?3)当x?3

，中，比

解：（1）

a2??2………………………………………4分

{bn}（2）由题意知：等比数列

b1?a2??2,b2?a5?4，

公

q?b2??2b1……………………………………6分

的

通

项

1?3?2?等比数列{bn}公式

bn?b1?qn?1?(?2)?(?2)n?1?(?2)n……………8分

C

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18．解：（1）圆C的半径为|CM|? 所

x2?y2?4，

程

为

以圆的方

……………2分

（2）圆心到直线l的距离为

d?|-4|1?122?22， …………4分

所以P到直线l：x?y?4?0的距离的最小值为：22?2 …………5分

3y?4?0（3）直线l的方程为x?点，所以EF∥BP.因此

EF∥PB??EF?平面PBD??EF∥平面PBDPB?平面PBD??

19．证：（1）在△PBC中，E、F为BC和PC的中

.……………4分

解：（2）因为EF∥BP，PD⊥平面ABCD，

所以∠PBD即为直线EF与平面ABCD所成的角. 又ABCD为正方形，BD=2AB，

2?所以在Rt△PBD中，tan?PBD?PD. BD2所以EF与平面ABCD所成角的正切值为

22.……………8分

→→→20．解：（1）由已知→AB·CA＝→BA·CB．得→AB·CA－→BA·→CB＝0

即→AB·（→CA＋→CB）＝0．设AB的中点

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为D，则→CA＋→CB=2→CD，

所以→AB·2→CD＝0，∴→AB⊥→CD，AB⊥CD，又∵D为AB的中点，

∴ΔABC是等腰三角形。……………3分

（2）由已知→AB·→CA＝→BA·→CB＝－1得→AB·→CA＋→BA·→CB＝－2

→∴→AB·（→CA －→CB）＝－2 ∴→AB·BA＝－2 ∴→AB2＝2

∴|→AB|＝

2 ……………6分

(3)由 |→AB＋→AC|=6 得|→AB＋→AC2 2→→|=6，即AB＋AC＋2→AB·→AC=6 2

22→→∴2＋AC＋2=6 ∴AC=2 ∴|→AC2 ∴AB＝

|=2 ∴ΔABC是边长为2的正三角形

3

∴ΔABC的面积为．……………10

2

分

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