全国初中数学竞赛辅导(初2)第05讲 恒等式的证明

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例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d． 证 由已知可得

a4+b4+c4+d4-4abcd=0，

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0， 所以

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．

因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，

所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．

又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以 a＝b，c=d． 所以

ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 所以a＝c．故a=b＝c=d成立． 说明 本题采用的方法是综合法． 4．其他证明方法与技巧

求证：8a+9b+5c=0．

a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)， (c+a)=3k(c-a)． 所以

6(a+b)=6k(a-b)， 3(b+c)=6k(b-c)，

2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得

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6(a+b)+3(b+c)+2(c+a) =6k(a-b+b-c+c-a)， 即 8a+9b+5c=0．

说明 本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧． 例8 已知a+b+c=0，求证 2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．

分析与证明 用比差法，注意利用a+b+c=0的条件． 左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2 =a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2 =(a2-b2-c2)2-4b2c2

=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc) =[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]

=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立． 说明 本题证明过程中主要是进行因式分解．

分析 本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法． 证 由已知

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说明 本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法． 例10 证明：

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3 =3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

分析与证明 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令

y+z-2x=a，① z+x-2y=b，② x+y-2z=c，③

则要证的等式变为

a3+b3+c3=3abc．

联想到乘法公式：

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有 a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0， 所以 a3+b3+c3-3abc=0， 所以

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3 =3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

说明 由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力． 例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且

求证：x2y2z2=1．

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分析 本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的

所以x2y2=1．三元与二元的结构类似． 证 由已知有

①×②×③得x2y2z2=1．

说明 这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中． 总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．

练习五

1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c． 2．证明：

(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3 =xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)． 3．求证：

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5．证明：

6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：

x=y=z或x+y+z=0．

7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证： (cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．

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