常州市2013期末

常州市2013届高三期末调研测试数学试卷及评分标准

数学Ⅰ试题

2013.1.25

参考公式：

1n1n2 样本数据x1，x2，… ，xn的方差s??(xi?x)，其中x=?xi．

ni?1ni?12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 设集合A?1,a，B??a?，若B?A，则实数a的值为 ▲ ． 2． 已知复数z??1?i（i为虚数单位），计算：

z?z? ▲ ． z?z??x2y23． 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该

ab双曲线的离心率的值为 ▲ ．

4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ．

5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次

拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ． 6． 函数f(x)?cosS←0n←0While S≤1023 S←S?2n n←n?1End WhilePrint n(第4题)?x2cos?(x?1)2的最小正周期为 ▲ ．

7． 函数f(x)?log2(4?x2)的值域为 ▲ ．

8． 已知点A(1,1)和点B(?1,?3)在曲线C：y?ax3?bx2?d(a,b,d为常数)上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3?b2?d? ▲ ．

????????9． 已知向量a，b满足a?2b??2,?4?，3a?b???8,16?，则向量a，b的夹角的大小

为 ▲ ． 10．给出下列命题：

（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不

垂直.

其中，所有真命题的序号为 ▲ ．

1

?2x≥2,?,11．已知函数f(x)＝?x，若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则

?(x?1)3,0?x?2?实数k的取值范围是 ▲ ．

n4121*12．已知数列?an?满足a1?，2?an?1?n?N?，则?= ▲ ． ?3an?6i?1ai13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2?y2?4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N?????????两点，点P为圆C上任意一点，则PM?PN的最大值为 ▲ ． 14．已知实数x,y同时满足4?x?27?y?值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．

字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知?,?均为锐角，且sin??51，log27y?log4x≥，27y?4x≤1，则x?y的取6631，tan(???)??． 53 （1）求sin(???)的值； （2）求cos?的值．

2

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB， AB?2AD?2，

CD?3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．

（1）求证：MN∥平面PCD；

（2）求证：四边形MNCD是直角梯形； （3）求证：DN?平面PCB ．

17．（本小题满分14分）

第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，BC?a，CD?b．a，b为常数且满足b?a.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，ADE?x，上），且该直角三角形AEF的周长为l（l?2b），如图．设A△AEF的面积为S．

（1）求S关于x的函数关系式；

（2）试确定点E位置，使得直角三角形地块AEF面积S最大，并求出S的最大值．

A

3

F D E b B a C 18．（本小题满分16分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1,F2分别是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的

ab???????????左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且AF2?5BF2?0.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点D?1,0?为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接

MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，

连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数?， 使得k1??k2?0恒成立？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.

4